[论文解读] The moduli space of genus 4 even spin curves is rational

Hiromichi Takagi, Francesco Zucconi|ArXiv.org|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过运用三重纤维化Mori理论及五次del Pezzo 3-fold $B$的几何性质，证明了亏格4的偶自守线丛模空间 $χ^+_{4}$ 是有理的。通过从 $B$ 上六次有理曲线的Hilbert概形到 $χ^+_{4}$ 的双有理映射，并构造一个 $G = πλγ_2$-等变的解析，作者证明了 $χ^+_{4}$ 双有理同构于 $π^9$，从而确立了其有理性。

ABSTRACT

By the technique of 3-fold Mori theory, we prove that the moduli space whose general point parameterizes a couple of a smooth curve of genus 4 and a halfcanonical divisor with vanishing global section is rational.

研究动机与目标

• 确定亏格4偶自守线丛模空间 $\mathcal{S}^+_{4}$ 的双有理几何性质。
• 在Farkas对高亏格结果的基础上，结合已知的 $\mathcal{M}_4$ 的有理性，解决 $\mathcal{S}^+_{4}$ 的有理性问题。
• 通过五次del Pezzo 3-fold $B$ 上的几何技术，建立 $\mathcal{S}^+_{4}$ 与 $\mathbb{P}^9$ 之间的双有理等价关系。
• 将 $B$ 上的双正则与双有理几何方法扩展，通过显式构造曲线与theta特征，证明有理性。

提出的方法

• 利用五次del Pezzo 3-fold $B$，其定义为 $-K_B = 2H$ 且 $H^3 = 5$，并通过 $|H|$ 嵌入到 $\mathbb{P}^6$ 中。
• 从 $B$ 上六次正规有理曲线的Hilbert概形 $\mathcal{H}$ 构造一个有理映射 $\pi_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$ 到模空间。
• 在 $\mathcal{H}$ 上引入 $G = \mathrm{PGL}_2$-作用，并通过消除不定点与Stein分解，得到映射 $p_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4}$ 与 $q_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$。
• 定义一个双有理态射 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$，将每个六次曲线映射为其在 $B$ 上的无序六条双割线，证明 $\Theta$ 是双有理的。
• 在相关概形 $\mathcal{V}$ 上构造一个有理对合 $J$，证明其可延拓至全空间，并证明商概形 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 通过从 $\mathcal{W} = W_2 / j$ 的下降法是有理的，而 $\mathcal{W}$ 是有理的。
• 通过上述构造及 $\Theta$ 的双有理性，证明 $\mathcal{S}^+_{4}$ 双有理同构于 $\mathcal{R}$，从而得出 $\mathcal{S}^+_{4}$ 是有理的。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格4偶自守线丛模空间 $\mathcal{S}^+_{4}$ 是否有理？
• RQ2 能否通过五次del Pezzo 3-fold $B$ 的几何性质来确立 $\mathcal{S}^+_{4}$ 的有理性？
• RQ3 在 $B$ 上的六次有理曲线Hilbert概形是否可通过双割线实现与 $({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ 的双有理参数化？
• RQ4 在 $B$ 上的 $G = \mathrm{PGL}_2$-等变构造能否导致模映射到 $\mathcal{S}^+_{4}$ 的解析？
• RQ5 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 是否有理，且是否双有理地支配 $\mathcal{S}^+_{4}$？

主要发现

• 亏格4偶自守线丛模空间 $\mathcal{S}^+_{4}$ 是有理的，因为它双有理同构于 $\mathbb{P}^9$。
• $B$ 上六次正规有理曲线的Hilbert概形 $\mathcal{H}$ 是不可约的，并且具有 $G = \mathrm{PGL}_2$-作用。
• 将双割线分配给每个六次曲线的映射 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ 是双有理的，建立了关键的参数化。
• 在概形 $\mathcal{V}$ 上的有理对合 $J$ 可延拓至全空间，且商概形 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 是有理的。
• 概形 $\mathcal{W} = W_2 / j$ 是有理的，且由于 $\mathcal{R}$ 是 $\mathcal{W}$ 上的 $\mathbb{P}^5$-丛，因此 $\mathcal{R}$ 是有理的。
• 由于 $\mathcal{S}^+_{4}$ 双有理同构于 $\mathcal{R}$，因此模空间 $\mathcal{S}^+_{4}$ 是有理的。