[論文レビュー] The Simplicial Model of Univalent Foundations (after Voevodsky)

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 113

ひとこと要約

この論文は、弱い普遍的カーン・ファイブレーションを用いて、単体集合の圏における単体的型理論のモデルを構築する。型のユニバースを解釈するために、弱い普遍的カーン・ファイブレーションを用い、このモデルにおいて不変性公理（Univalence Axiom）が成立することを示し、したがって、1つの不変性ユニバースを備えた Martin-Löf 型理論が、2つの不動点を持つ ZFC に対して一貫していることを示している。

ABSTRACT

We present Voevodsky's construction of a model of univalent type theory in the category of simplicial sets. To this end, we first give a general technique for constructing categorical models of dependent type theory, using universes to obtain coherence. We then construct a (weakly) universal Kan fibration, and use it to exhibit a model in simplicial sets. Lastly, we introduce the Univalence Axiom, in several equivalent formulations, and show that it holds in our model. As a corollary, we conclude that Martin-Löf type theory with one univalent universe (formulated in terms of contextual categories) is at least as consistent as ZFC with two inaccessible cardinals.

研究の動機と目的

• 単体集合の圏における不変性型理論のカテゴリー的モデルを、弱い普遍的カーン・ファイブレーションを用いて構築すること。
• この単体的モデルにおいて不変性公理が成立することを示し、型を空間としてのホモトピー的解釈を正当化すること。
• 1つの不変性ユニバースを備えた Martin-Löf 型理論が、2つの不動点を持つ ZFC に対して一貫していることを示すこと。
• 文脈的圏における論理的構造とユニバースを用いた、従属型理論のモデルを構築する一般枠組みを開発すること。
• 型理論的および単体的文脈における不変性の複数の同等な定式化を形式化し、比較すること。

提案手法

• 弱い普遍的カーン・ファイブレーションをコアコンponentとして用いて、単体集合内のカーン複体のユニバースを構築する。
• 依存型理論をカテゴリー的にモデル化するために、ユニバースに論理的構造（例：Π、Σ、Id、W型）を備える。
• すべての必要な型コンストラクターについて閉じていることを保証するように、単体的ユニバースに型理論的ユニバース構造を定義する。
• 不変性の3つの定式化（型理論的、単体的、およびプッシュアウト表現を用いたもの）を導入し、比較する。
• ユニバースの不変性述語へのグローバル・セクションの構成により、単体的ユニバースが不変性公理を満たすことを証明する。
• 初期性定理に依存しないように文脈的圏を用いることで、モデルが構文的整合性に依存しない堅牢な性質を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い普遍的カーン・ファイブレーションを用いて、単体集合の圏における不変性型理論をモデル化できるか？
• RQ2 すべての従属型コンストラクターを一貫的にサポートできるように、カーン複体のユニバースをどのように構築できるか？
• RQ3 型理論的および単体的文脈における不変性公理の同等な定式化は何か？
• RQ4 単体的ユニバースは不変性公理を満たすか？ もしそうなら、どのように圏論的に検証されるか？
• RQ5 1つの不変性ユニバースを備えた Martin-Löf 型理論の整合性の強さは、古典的集合論（ZFC）に対してどの程度か？

主な発見

• 弱い普遍的カーン・ファイブレーションを用いて、単体集合の圏における不変性型理論のモデルが成功裏に構築された。
• カーン複体の単体的ユニバースは、すべての従属型コンストラクター（Σ、Π、Id、W など）について閉じており、論理的構造を備えている。
• ユニバースの不変性述語へのグローバル・セクションの存在により、単体的モデルにおいて不変性公理が成立することが示された。
• 型理論的および単体的文脈における不変性の定式化が、一連の圏論的構成を用いて同等であることが証明された。
• モデルにより、1つの不変性ユニバースを備えた Martin-Löf 型理論が、2つの不動点を持つ ZFC に対して一貫していることが検証された。
• 初期性定理に依存しないように、文脈的圏を意味的フレームワークとして用いることで、構成が実現された。