[論文レビュー] The Space of Stability Conditions on Abelian Threefolds, and on some Calabi-Yau Threefolds

Arend Bayer, Emanuele Macrì+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、傾きがゼロでない一般化されたボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式を証明することにより、アーベル3次元多様体および特定のアーベル型のカーミー＝ヤウ3次元多様体におけるブリッジランド安定性条件の連結成分の存在を確立する。著者らは安定性条件理論における重要な予想を解決し、先行研究を拡張し、壁交叉解析と変形技法を用いて補足性を確認した。

ABSTRACT

We describe a connected component of the space of stability conditions on abelian threefolds, and on Calabi-Yau threefolds obtained as (the crepant resolution of) a finite quotient of an abelian threefold. Our proof includes the following essential steps: 1. We simultaneously strengthen a conjecture by the first two authors and Toda, and prove that it follows from a more natural and seemingly weaker statement. This conjecture is a Bogomolov-Gieseker type inequality involving the third Chern character of "tilt-stable" two-term complexes on smooth projective threefolds; we extend it from complexes of tilt-slope zero to arbitrary tilt-slope. 2. We show that this stronger conjecture implies the so-called support property of Bridgeland stability conditions, and the existence of an explicit open subset of the space of stability conditions. 3. We prove our conjecture for abelian threefolds, thereby giving reproving and generalizing a result by Maciocia and Piyaratne. Important in our approach is a more systematic understanding on the behaviour of quadratic inequalities for semistable objects under wall-crossing, closely related to the support property.

研究の動機と目的

• アーベル3次元多様体および関連するカーミー＝ヤウ3次元多様体におけるブリッジランド安定性条件の連結成分の存在を確立すること。
• 滑らかな射影的3次元多様体上の傾き安定な2項複体に対して、傾きがゼロの対象にとどまらず一般化されたボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式を証明すること。
• 2次形式を用いたコhomological格子上での二次不等式と壁交叉挙動を用いて、ブリッジランド安定性条件の補足性を検証すること。
• 変形および双対性技法を用いて、ピカール数1の3次元多様体に関する先行結果を高ランクの場合に拡張すること。
• BKR同型とG-可換なインダクションを用いて、クラスマン3次元多様体における安定性条件の存在を確認すること。

提案手法

• 傾きがゼロでない任意の傾きを持つ傾き安定対象について、予想的なボゴモロフ＝ギーセンカー不等式の強化版を証明する。
• 一般化された不等式を用いて、コhomological格子上の2次形式を通じてブリッジランド安定性条件の補足性を導出する。
• 傾き安定性条件に対する変形技法を適用し、制御されたt-構造を持つ非常に弱い安定性条件にまで拡張できることを示す。
• 安定性条件の空間における壁交叉解析を用い、有理数パラメータで定義されるチャネル内では傾き安定性が変化しないことを示す。
• BKR同型を用いて、アーベル3次元多様体のG-可換な導来カテゴリから、クラスマン3次元多様体への安定性条件を誘導する。
• 中心的係数が $H^{3-i}\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits_i$ ($i=0,1,2,3$) の次数にのみ依存することを活用し、明示的な安定性条件を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 傾き安定な複体に対して、傾きがゼロでない場合を含め、一般化されたボゴモロフ＝ギーセンカー不等式が成り立つか。
• RQ2 強化されたボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式から、ブリッジランド安定性条件の補足性を導出できるか。
• RQ3 アーベル3次元多様体およびアーベル型のカーミー＝ヤウ3次元多様体における安定性条件の空間の構造はいかなるものか。
• RQ4 安定性パrameterの変形に伴う壁交叉挙動は、対象の安定性にどのように影響するか。
• RQ5 G-可換な手法とBKR同型を用いて、クラスマン3次元多様体における安定性条件を構成できるか。

主な発見

• アーベル3次元多様体上のすべての傾き安定な2項複体に対して、一般化されたボゴモロフ＝ギーセンカー不等式が成り立つ。これは、以前の結果を傾きがゼロでない一般の場合にまで拡張したものである。
• 2次不等式と壁交叉を用いて、ブリッジランド安定性条件の補足性が確立され、良好な変形理論が保証される。
• アーベル3次元多様体における安定性条件の空間の連結成分が明示的に記述され、中心的係数がチェーン・キャラクターの次数にのみ依存する。
• BKR同型と可換なインダクションを用いて、アーベル型のカーミー＝ヤウ3次元多様体およびクラスマン3次元多様体におけるブリッジランド安定性条件の存在が確認された。
• アーベル3次元多様体における安定性条件の空間は、壁が中心的係数の比例関係によって定義される局所有限な壁・チャネル構造を持つ。
• 有理数近似と変形を用いて、非有理 $B$-類に対しても証明が拡張可能であり、一般の場合には有理 $B$-類への還元により不等式が確認された。