[論文レビュー] The volume of Kähler-Einstein Fano varieties and convex bodies

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、固定点が有限個である holomorphic な $\mathbb{C}^*$-作用をもつ $n$ 次元の Kähler-Einstein Fano多様体の中で、複素射影空間 $\mathbb{P}^n$ が最大の体積を持つことを確立する。$S^1$-不変な Moser-Trudinger 不等式を Stein 領域に適用し、シンプレクティック幾何学を用いて、体積の上限 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$ を証明する。これにより、トーリック対応を介して、多くの有理的多面体に対して Ehrhart の予想が裏付けられ、球面的多様体や Okounkov ボディへと拡張される。

ABSTRACT

We show that the complex projective space has maximal degree (volume) among all n-dimensional Kahler-Einstein Fano manifolds admitting a holomorphic C^*-action with a finite number of fixed points. The toric version of this result, translated to the realm of convex geometry, thus confirms Ehrhart's volume conjecture for a large class of rational polytopes, including duals of lattice polytopes. The case of spherical varieties/multiplicity free symplectic manifolds is also discussed. The proof uses Moser-Trudinger type inequalities for Stein domains and also leads to criticality results for mean field type equations in C^n of independent interest. The paper supersedes our previous preprint concerning the case of toric Fano manifolds.

研究の動機と目的

• 対称性の条件下での Kähler-Einstein Fano 多様体の体積に対する鋭い上界を確立すること。
• トーリック対応を用いて、大きなクラスの有理的多面体に対して Ehrhart の体積予想を確認すること。
• 体積最大化の結果を球面的 Fano 多様体および多重度自由なシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• moment 多面体と Duistermaat-Heckman 測度を通じて、Kähler-Einstein 計量の存在を凸幾何学と結びつけること。
• Okounkov ボディが Fano 条件および Kähler-Einstein 条件をどのように符号化するかを検討すること。

提案手法

• 証明は、$\mathbb{C}^*$-作用の固定点を含む $S^1$-不変な Stein 領域における Moser-Trudinger 型不等式に依存する。
• 著者らは、吸引的固定点をもつ holomorphic な $S^1$-作用の存在を用いて、不等式に適した領域を構成する。
• Fano 多様体の体積は、moment 多面体 $P$ 上での Duistermaat-Heckman 測度 $v(p)\,dp$ の積分と関係づけられる。
• トーリック多様体では、体積が $\int_P v(p)\,dp$ と表され、$v(p)$ は $p$ と正の根の正のペアリングをとる積で与えられ、体積が 1 になるように正規化される。
• 球面的多様体に対しては、シンプレクティック moment 写像とコン pact Lie 群 $K$ の多重度自由作用を用い、シンプレクティック体積公式が得られる。
• このアプローチは、特異な Kähler-Einstein 計量や弱い Fano 多様体へと一般化され、リッチ曲率の下界 $R(X)$ を含む修正された上限が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^n$ は、固定点が有限個である $n$ 次元の Kähler-Einstein Fano 多様体の中で体積を最大にするか？
• RQ2 トーリック対応を用いて、格子多面体の双対に対して Ehrhart の体積予想が、格子多面体の双対に対して確認できるか？
• RQ3 Duistermaat-Heckman 測度は、球面的 Fano 多様体の体積を符号化するために果たす役割は何か？
• RQ4 多重度自由なシンプレクティック多様体において、Kähler-Einstein 計量の存在が moment 多面体の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ5 Fano 条件および Kähler-Einstein 条件は、多様体の Okounkov ボディ $\Delta$ を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• 固定点が有限個である任意の $n$ 次元の Kähler-Einstein Fano 多様体について、$c_1(X)^n \leq (n+1)^n$ が成り立ち、等号が成り立つのは $X = \mathbb{P}^n$ の場合に限る。
• この結果のトーリック版は、格子多面体の双対および重心条件を満たす反射的 Delzant 多面体に対して、Ehrhart の体積予想を裏付ける。
• Kähler-Einstein 計量をもつ球面的 Fano 多様体では、moment 多面体 $P$ 上での体積積分 $\int_P v(p)\,dp$ に対して $\int_P v(p)\,dp \leq (n+1)^n / n!$ が成り立ち、$\mathbb{P}^n$ に Fubini-Study 形式をとると等号が成立する。
• リッチ曲率の下界 $R(X)$ を組み込むことで、弱い Fano 多様体に対しても結果が拡張され、$c_1(X)^n \leq (n+1)^n / R(X)^n$ が得られる。
• 多様体 $P$ における Duistermaat-Heckman 測度に関して、$\sum_{\alpha \in R^+} \alpha$ が重心であるという条件は、同調的ファイブレーションの場合の Kähler-Einstein 計量をもつ Fano 多様体を特徴付ける。
• 本稿は、球面的 Fano 多様体における Kähler-Einstein 計量の存在に対する新たな障害を、体積の上限を通じて提供する。