[论文解读] Time Complexity of Constraint Satisfaction via Universal Algebra

Peter Jönsson, Victor Lagerkvist+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文在代数CSP二分猜想和指数时间假设（ETH）下证明，NP-完全的有限域约束满足问题（CSP）不存在亚指数时间算法。它为每个有限域$D$定义了一个通用关系$S_D$，使得CSP($\{S_D\}$)成为所有关于$D$的NP-完全CSP时间复杂度的紧下界，并表明当$|D|$增大时，该下界趋于零，这意味着对于任意$c>1$，存在一个可在$O(c^n)$时间内求解的NP-完全CSP。

ABSTRACT

The exponential-time hypothesis (ETH) states that 3-SAT is not solvable in subexponential time, i.e. not solvable in O(c^n) time for arbitrary c > 1, where n denotes the number of variables. Problems like k-SAT can be viewed as special cases of the constraint satisfaction problem (CSP), which is the problem of determining whether a set of constraints is satisfiable. In this paper we study thef worst-case time complexity of NP-complete CSPs. Our main interest is in the CSP problem parameterized by a constraint language Gamma (CSP(Gamma)), and how the choice of Gamma affects the time complexity. It is believed that CSP(Gamma) is either tractable or NP-complete, and the algebraic CSP dichotomy conjecture gives a sharp delineation of these two classes based on algebraic properties of constraint languages. Under this conjecture and the ETH, we first rule out the existence of subexponential algorithms for finite-domain NP-complete CSP(Gamma) problems. This result also extends to certain infinite-domain CSPs and structurally restricted CSP(Gamma) problems. We then begin a study of the complexity of NP-complete CSPs where one is allowed to arbitrarily restrict the values of individual variables, which is a very well-studied subclass of CSPs. For such CSPs with finite domain D, we identify a relation SD such that (1) CSP({SD}) is NP-complete and (2) if CSP(Gamma) over D is NP-complete and solvable in O(c^n) time, then CSP({SD}) is solvable in O(c^n) time, too. Hence, the time complexity of CSP({SD}) is a lower bound for all CSPs of this particular kind. We also prove that the complexity of CSP({SD}) is decreasing when |D| increases, unless the ETH is false. This implies, for instance, that for every c>1 there exists a finite-domain Gamma such that CSP(Gamma) is NP-complete and solvable in O(c^n) time.

研究动机与目标

• 在指数时间假设（ETH）下，确定NP-完全约束满足问题（CSP）的最坏时间复杂度。
• 研究约束语言$\Gamma$的选择如何影响CSP($\Gamma$)的时间复杂度。
• 识别一个通用关系$S_D$，使其作为所有关于有限域$D$的NP-完全CSP时间复杂度的下界。
• 探讨时间复杂度阈值$\sf T(\{S_D\})$随域大小$|D|$增加时的行为。

提出的方法

• 利用代数CSP二分猜想，基于多态代数对CSP进行分类，判断其为可解或NP-完全。
• 应用指数时间假设（ETH），排除NP-完全有限域CSP存在亚指数时间算法的可能性。
• 在域$D$上引入关系$S_D$，以构建一个作为所有关于$D$的CSP时间复杂度下界的典型NP-完全CSP实例。
• 设计一种递归回溯算法用于CSP($\{S_D\}$)，该算法在$S_D$中的元组上进行分支，通过变量频率和固定值传播进行剪枝。
• 通过递推关系分析算法的时间复杂度：$T(n) = 3T(n - \lfloor \frac{k(k-1)(k-2)}{k^2} \rfloor) + \text{poly}(||I||)$，其中$k = |D|$。
• 通过对递推关系进行渐近分析，表明指数部分$\frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}$在$k \to \infty$时趋于零，从而得出$\inf \sf T(\{S_D\}} = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数CSP二分猜想和ETH下，是否存在某个NP-完全有限域CSP具有亚指数时间算法？
• RQ2 是否存在一个通用关系$S_D$，使得CSP($\{S_D\}$)是NP-完全的，并且作为所有关于有限域$D$的NP-完全CSP的时间复杂度下界？
• RQ3 当域大小$|D|$增加时，时间复杂度阈值$\sf T(\{S_D\})$的行为如何？
• RQ4 对于每个有限域$D$，是否能保证存在一个可在$O(c^n)$时间内求解的CSP，其中$c>1$？

主要发现

• 在代数CSP二分猜想和ETH下，任何NP-完全有限域CSP均不存在亚指数时间算法。
• 对于每个有限域$D$，CSP($\{S_D\}$)是NP-完全的，并且是所有关于$D$的NP-完全CSP时间复杂度的下界。
• 时间复杂度阈值$\sf T(\{S_D\})$随$|D|$增大而减小，且$\inf \{ \sf T(\{S_D\}) \mid |D| \geq 2 \} = 0$。
• 对于每个$c > 1$，存在一个有限域约束语言$\Gamma$，使得CSP($\Gamma$)是NP-完全的，并且可在$O(c^n)$时间内求解。
• CSP($\{S_D\}$)的递归算法达到$O(3^{n \cdot \frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}} \cdot \text{poly}(||I||))$的时间复杂度，且当$k = |D| \to \infty$时，指数部分趋于零。
• 该结果意味着，若存在某个有限域上NP-完全CSP的亚指数时间算法，将与ETH矛盾。