[論文レビュー] "Time operator": the challenge persists

Bogdan Mielnik, Gabino Torres-Vega|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、量子力学におけるキヨフスキーが提唱した時間演算子の妥当性に疑問を呈し、その仮定が粒子到着時刻に対する絶対的確実性を前提としているが、これは量子力学的ダイナミクスと矛盾すると主張する。波パケット解析を通じて、時間に鋭く局在化した初期状態であっても、予測された到着ウィンドウより前に検出器で顕著な確率振幅が存在することを示し、確実性の原則に反し、時間観測量に対する伝統的な自己随伴演算子枠組みを根底から揺るがしている。

ABSTRACT

Contrary to the conviction expressed by J. Kijowski [Phys. Rev. A 59, 897 (1999)] and shared in some other papers, the reasons to look for the 'time operator' in the context of the standard quantum doctrine of orthogonal projectors and self-adjoint observables are highly questionable. Some improved solutions in terms of POV measures invite critical discussions as well.

研究の動機と目的

• キヨフスキーの時間演算子が、決定的解であると主張されているが、それが量子進化と物理的に整合しているかどうかを評価すること。
• 時間演算子のスペクトル射影子が示唆する、粒子到着時刻に対する絶対的確実性の仮定が、実際の波パケットダイナミクスと整合するかどうかを調査すること。
• 時間測定に自己随伴演算子とスペクトル射影子を用いることが、非局所的かつ非因果的影響を伴うため、根本的に誤りであるかどうかを検討すること。
• これらの不整合が、時空の量子化という広範なプログラムおよび待ち検出器の量子測定における役割に与える影響を検討すること。

提案手法

• 自由粒子シュレーディンガー力学に従い、時間表現における狭い区間 [2, 2.00001] に局在化した初期状態の時間発展を解析する。
• 初期状態を時間（θ）表現から位置（x）表現に変換し、t=2に近い時刻における空間的分布を可視化する。
• 標準的なユニタリ発展を適用して、到着ウィンドウより前のx=0における確率振幅が非ゼロであることを示す。
• キヨフスキーのスペクトル射影子による到着の予測された確実性と、実際の量子進化を比較し、矛盾を明らかにする。
• ヘーゲルフェルトのノーゴ定理（Heg98）を用いて、特定のモデルに限らない一般化を行い、標準的量子進化下ではこのような絶対的確実性状態は存在できないことを示す。
• 「通過状態」|±,t⟩ が鋭い時間固有状態の代わりに果たす役割を検討し、それらの非直交性と曖昧な時間局在性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キヨフスキーの時間演算子が主張するように、粒子が鋭く定義された時間区間内に検出器に到着することが絶対的に保証されるような量子状態を準備することは可能か？
• RQ2 時間に局在化した初期状態を持つ波パケットが自由に進化する場合、予測された到着時刻より前（t<2）に検出器で非ゼロの振幅が現れるか。これは絶対的確実性の概念に反するのか？
• RQ3 自己随伴時間演算子とスペクトル射影子の使用が、量子トンネル効果や非即時的伝播という物理的現実と整合するか？
• RQ4 因果性やユニタリティを損なわずに、時間の到着を標準的な量子観測量（自己随伴演算子）として記述することは可能か？
• RQ5 非直交的かつ重複する「通過状態」|±,t⟩ が、量子力学における時間局在性の概念に与える影響は何か？

主な発見

• 初期状態が時間区間 [2, 2.00001] に鋭く局在化している波パケットは、t<2 においても x=0 で顕著な確率振幅を示し、キヨフスキーの t=2 以降での到着の絶対的確実性の主張に反する。
• 狭い初期時間ウィンドウであっても、t=2 時点で波パケットの半数以上がすでに検出器から遠く離れているため、到着の直前という仮定に反する。
• t=2 よりも前の時点で x=0 に波動関数の明確な尾部（tail）が現れ、予測された到着ウィンドウより前における検出確率が非ゼロであることを示しており、これはスペクトル射影子によるゼロ確率の予測と矛盾する。
• ヘーゲルフェルトのノーゴ定理（Heg98）は、ハミルトニアンが正で自己随伴である限り、標準的ユニタリ進化下ではこのような絶対的確実性状態は存在できないことを示唆している。
• 「通過状態」|±,t⟩ は非直交的かつ過剰な基底を形成しており、量子力学における時間局在性が本質的に曖昧であることを示している。
• 結果から、待ち検出器および到着時刻測定は、自己随伴観測量の伝統的ディラック＝ヴァン・ノイマン枠組み内では矛盾なく記述できないことが示唆される。