연구 동기 및 목표

제안 방법

다중도 $k=1,2,3,4$에 대해 반복 이토 및 스트라토니치 스토크라스틱 적분을 $L_2([t,T]^k)$ 노름에서 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수로 전개한다.
수직 다항식 전개를 이용해 반복 이토 및 스트라토니치 적분의 푸리에-레지온드르 계수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.
평균 제곱 노름에서 오차 한계를 갖는 단순화된 레지온드르 급수로 반복 이토 적분(다중도 1에서 4까지)의 수치 근사를 구성한다.
높은 다중도 적분의 근사를 포함함으로써 강한 수렴 차수 1.5 및 2.0을 갖는 알고리즘을 구현한다. 이에는 $I_{(10)}$, $I_{(01)}$, 및 $I_{(0000)}$ 적분이 포함된다.
강한 수렴 차수 1.5 방법의 경우 평균 제곱 오차 한계를 $\mathcal{O}(\Delta^4)$로 보장하고, 차수 2.0 방법의 경우 $\mathcal{O}(\Delta^5)$로 보장하며, 명시적인 오차 추정을 제공한다.
일致성을 확보하기 위해 [3]에서 제시된 스트라토니치 적분 정의를 사용하고, 필요에 따라 이토-스트라토니치 보정 항을 적용한다.

RQ1다차원 비가환성 노이즈를 가진 상황에서 반복 이토 스토크라스틱 적분(다중도 1에서 4까지)을 보장된 평균 제곱 수렴을 갖는 방식으로 효율적으로 근사할 수 있는 방법은 무엇인가?
RQ2다차원 SDE의 맥락에서 반복 이토 및 스트라토니치 적분에 대한 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수 전개의 구조는 어떠한가?
RQ3이러한 근사 기법을 바탕으로 강한 수렴 차수 1.5 및 2.0을 갖는 수치적 방법을 어떻게 구성할 수 있는가?
RQ4레지온드르 기반 근사의 반복 스토크라스틱 적분(다중도 1에서 4까지)에 대한 정확한 평균 제곱 오차 한계는 무엇인가?
RQ5유도된 수치적 방법을 실질적으로 스토크라스틱 제어 및 필터링 문제에 효율적으로 구현할 수 있는가?

논문은 반복 이토 및 스트라토니치 스토크라스틱 적분의 푸리에-레지온드르 계수에 대한 명시적 공식을 다중도 6까지 유도하여 고정밀도 근사를 가능하게 한다.
다중도 $k$에 대해 반복 이토 적분의 레지온드르 급수 근사의 평균 제곱 오차는 $k=1,2,3,4$에 대해 $\mathcal{O}(\Delta^{k+1})$로 유계이며, 이는 수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0를 보장한다.
강한 수렴 차수 1.5 방법의 경우, $I_{(10)}$ 및 $I_{(01)}$ 적분 근사의 오차는 $\mathcal{O}(\Delta^4)$로 유계이며, 레지온드르 다항식 계수의 합을 포함한 명시적 표현식이 존재한다.
강한 수렴 차수 2.0 방법의 경우, $I_{(0000)}$ 적분의 포함으로 오차 한계 $\mathcal{O}(\Delta^5)$를 확보하여 더 높은 정밀도를 확보한다. 이는 식 (68)에서의 오차 추정을 통해 검증된다.
강한 수렴 차수 2.0를 달성하기 위해 $I_{(10)}$, $I_{(01)}$, 및 $I_{(0000)}$ 적분의 근사를 포함하며, 평균 제곱 오차가 $\mathcal{O}(\Delta^5)$로 유계이다.
알고리즘이 실용적이며, 이산 웨이너 증분 $\zeta_i^{(i_j)}$를 사용하여 구현 가능하다. $I_{(00)}$, $I_{(000)}$, 및 $I_{(0000)}$ 적분에 대한 명시적 공식이 이 변수들로 제공된다.