[论文解读] Towards a Jordan decomposition of blocks of finite reductive groups

Michel Enguehard|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 9

一句话总结

本文通过构造一个定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的拟单代数群 $H$，为有限拟单群的块建立了 Jordan 分解，使得 $H$ 的幂零 $\ell$-块与 $GF$ 在给定的有理 Lusztig 系列中的 $\ell$-块之间存在保持高度、缺陷群同构且 Brauer 类别同构的对应关系。关键贡献是在 $\ell$ 和群类型满足温和条件时，建立了 $GF$ 中块的不可约表示与 $H$ 中幂零块之间的一一对应且保持结构的对应关系。

ABSTRACT

\input amssym.def \input amssym.tex Let $G$ be a connected algebraic reductive group over an algebraic closure of a prime field ${\Bbb F}_p$, defined over ${\Bbb F}_q$ thanks to a Frobenius $F$. Let $\ell$ be a prime different from $p$. Let $B$ be an $\ell$-block of the subgroup of rational points $G^F$. Under mild restrictions on $\ell$, we show the existence of an algebraic reductive group $H$ defined over ${\Bbb F}_q$ {\it via} a Frobenius $F$, and of a unipotent $\ell$-block $b$ of $H^F$ such that : the respective defect groups of $b$ and $B$ are isomorphic, the associated Brauer categories are isomorphic and there is a height preserving one-to-one map from the set of irreducible representations of $b$ onto the set of irreducible representations of $B$. \end

研究动机与目标

• 将 Jordan 分解从不可约表示推广到有限拟单群的 $\ell$-块。
• 构造一个有限拟单群 $H$，使得其幂零 $\ell$-块与 $GF$ 中 $\ell$-块的表示论结构相匹配。
• 在 $\ell$ 和群类型满足温和条件时，建立 $GF$ 的块与 $H$ 的幂零块之间保持高度、缺陷群同构且 Brauer 类别同构的对应关系。
• 通过块分类和广义 Harish-Chandra 理论，提供一个组合化、校正的证明，以纠正先前工作的不准确之处。

提出的方法

• 构造中心化子 $C_{G^*}(s)$ 的对偶拟单代数群 $G(s)$，该群通过 Frobenius 映射 $F$ 定义在 $\mathbb{F}_q$ 上。
• 应用 Lusztig 系列和通过 Lusztig 函子 $R^G_L$ 实现的表示的 Jordan 分解，将 $E(G^F, s)$ 中的表示与 $E(C_{G^*}(s)^F, 1)$ 中的表示联系起来。
• 利用 Cabanes 和 Enguehard 的方法，通过“cuspidal data”对 $\ell$-块进行分类，以组合方式参数化块。
• 在 $G \to H$ 的正则嵌入中应用 Clifford 理论，分析中心化子的非连通分量及其对块结构的影响。
• 对幂零表示应用广义 Harish-Chandra 理论，用 cuspidal data 描述 $\operatorname{Irr}(B)$ 和 $\operatorname{Irr}(b)$。
• 依赖归纳论证和对极小情形的约化，利用根系和 $\delta$-核心分拆来控制表示对应中组合参数的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有限拟单群的 $\ell$-块建立类似于已知不可约表示的 Jordan 分解？
• RQ2 在 $\ell$ 和群结构满足何种条件时，相关有限拟单群 $H$ 的幂零 $\ell$-块能与 $GF$ 在给定 Lusztig 系列中的块之间建立双射对应？
• RQ3 是否存在 $H^F$ 的幂零块 $b$ 与 $G^F$ 的块 $B$ 之间保持高度、缺陷群同构且 Brauer 类别同构的对应关系？
• RQ4 当 $C_{G^*}(s)$ 不连通时，如何利用 cuspidal data 和广义 Harish-Chandra 理论组合地描述 $G^F$ 中块的结构？
• RQ5 通过正则嵌入和 Clifford 理论，能在多大程度上解释 $C_{G^*}(s)$ 不连通对块对应的影响？

主要发现

• 对于 $G^F$ 在有理 Lusztig 系列 $E(G^F, s)$ 中的任意 $\ell$-块 $B$，存在一个定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的拟单代数群 $H$，使得其幂零 $\ell$-块与 $B$ 之间存在一一对应且保持高度的对应关系。
• 块 $b$（$H^F$ 的幂零块）与 $B$ 的缺陷群作为有限 $\ell$-群同构。
• 块 $b$ 和 $B$ 的相关 Brauer 类别同构，保持块论结构。
• 在 $\operatorname{Irr}(b)$ 与 $\operatorname{Irr}(B)$ 之间的对应关系是双射，且保持不可约特征标的高度。
• 该构造依赖于 $G(s)$ 与 $C_{G^*}(s)$ 之间的对偶性，且在 $\ell$ 对 $G$ 是良好的并满足温和限制的假设下成立。
• 证明是组合化且归纳性的，基于 Cabanes 和 Enguehard 的块分类方法，以及 $\delta$-核心和 $\delta$-cuspidal data 的性质。