[論文レビュー] Two Conjectures on Gauge Theories, Gravity, and Infinite Dimensional Kac-Moody Groups

Ori Ganor|ArXiv.org|Mar 12, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 71被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、無限次元のコセット多様体 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K 上で定義されるマスタ生成関数 Ξ(ξ) を提案する。この関数は、トーラスに compactified されたヤン・ミルズ理論およびリトルストリング理論の分配関数を符号化する。幾何学的および U-duality のねじれをこの空間に埋め込み、調和関数を用いて瞬間子の寄与を解釈することで、decompactification の極限で境界条件が消える無限次元 Kac-Moody 対称性を介して、トーラス上のゲージ理論、重力理論、M理論を統一する。Ξ はこの coset 空間上での一意な調和関数であると予想される。

ABSTRACT

We propose that the structure of gauge theories, the $(2,0)$ and little-string theories is encoded in a unique function on the real group manifold $E_{10}(R)$. The function is invariant under the maximal compact subgroup $K$ acting on the right and under the discrete U-duality subgroup $E_{10}(Z)$ on the left. The manifold $E_{10}(Z)\backslash E_{10}(R) /K$ contains an infinite number of periodic variables. The partition function of U(n), N=4 Super-Yang-Mills theory on $T^4$, with generic SO(6) R-symmetry twists, for example, is derived from the $n^{th}$ coefficient of the Fourier transform of the function with respect to appropriate periodic variables, setting other variables to the R-symmetry twists and the radii of $T^4$. In particular, the partition function of nonsupersymmetric Yang-Mills theory is a special case, obtained from the twisted $(2,0)$ or little-string theories. The function also seems to encode the answer to questions about M-theory on an arbitrary $T^8$. The second conjecture that we wish to propose is that this function is harmonic with respect to the $E_{10}(R)$ invariant metric. In a similar fashion, we propose that there exists a function on the infinite Kac-Moody group $DE_{18}$ that encodes the twisted partition functions of the $E_8$ 5+1D theories as well as answers to questions about the heterotic string on $T^7$.

研究の動機と目的

• トーラスに compactified されたゲージ理論およびリトルストリング理論の分配関数の生成関数を構成すること。
• 幾何学的ねじれ、U-duality ねじれ、瞬間子寄与を、1 つの無限次元コセット空間 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K 内で統一すること。
• この生成関数 Ξ(ξ) が、decompactification の極限で境界条件が消える E₁₀(ℝ)/K 上の一意な調和関数であると予想すること。
• T⁹ 上の M理論の分配関数に SO(2) ねじれを埋め込み、E₁₀ の構造に統合することで、(2,0) 理論およびリトルストリング理論と関連付けること。
• M理論の T⁸ 上の S行列と、ゲージ理論の低エネルギー極限が、すべて E₁₀ 上の一意の調和関数から導かれる枠組みを提供すること。

提案手法

• U(N) ヤン・ミルズ理論の T⁴ 上の生成関数 Z(ϕ) = ∑ₙ₌₀^∞ e⁻ⁿᵗ Zₙ cos(nϕ) を定義し、収束を保証するための t を導入する。
• R-対称性のねじれを導入することで、(2,0) 理論および T⁶ 上のリトルストリング理論における発散を正則化する。
• 幾何学的および U-duality ねじれパラメータを、無限次元コセット空間 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K に埋め込む。ここで 𝔈₁₀ は無限次元 Kac-Moody 群である。
• M理論の T⁹ 上で一般の無理数 SO(2) ねじれを持つ分配関数を基に、マスタ関数 Ξ(ξ) を構成する。U-duality ねじれを補完する。
• T⁹ の 7 個の半径を無限大にした極限を取ることで、Ξ(ξ) から N 個の瞬間子寄与を抽出し、(2,0) 理論に関連する T⁶ compactification を分離する。
• 瞬間子に関連する周期的フラックス変数に対するフーリエ変換を用い、ラップされた M5-brane とカルラツァ＝クラインモノポールの寄与を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元対称性を介して、1 つの生成関数 Ξ(ξ) が、トーラス上でのヤン・ミルズ理論およびリトルストリング理論の分配関数を符号化できるか？
• RQ2 一般の無理数ねじれに対して、T⁹ 上の M理論の分配関数は適切に定義されており、非自明なものか？また、幾何学的および U-duality ねじれパラメータに依存するか？
• RQ3 M理論の T⁸ 上の S行列は、同じマスタ関数 Ξ(ξ) から抽出可能か？特に重力部 Z₀ はそのように特定できるか？
• RQ4 Ξ(ξ) が、E₁₀(ℝ)/K 上の調和関数であり、decompactification の極限で境界条件が消える一意な境界条件を持つと予想されるか？
• RQ5 コンパクト化された理論における電気的および磁気的フラックスは、Ξ(ξ) の調和構造と、クーロン閉じ込め現象とどのように関係するか？

主な発見

• U(N) ヤン・ミルズ理論の T⁴ 上の生成関数 Z(ϕ) は、E₁₀ コセット空間上でのマスタ関数 Ξ(ξ) のフーリエ成分として予想される。
• 一般の無理数ねじれに対して、T⁹ 上の M理論の分配関数は適切に定義されており、非自明なものであり、Ξ(ξ) の基盤をなすと予想される。
• マスタ関数 Ξ(ξ) は、E₁₀(ℝ)/K 上の E₁₀(ℝ)-不変計量に関して、境界条件が decompactification の極限で消える一意な調和関数であると予想される。
• 生成関数 (1) の重力部 Z₀ は、スピン(4) ねじれを持つ T⁷ 上の M理論からの寄与と特定され、質量ゼロの重力子の S 行列を符号化する。
• T⁹ の 7 個の半径を無限大にした極限を取ることで、log(Ξ) からリトルストリング理論の分配関数に対する N 個の瞬間子寄与を抽出し、T⁶ compactification を分離する。
• この構成は、M5-brane 瞬間子とカルラツァ＝クラインモノポール瞬間子を両方とも統合しており、それらのフラックスがフーリエ展開の周期的変数を提供し、寄与を分離可能にする。