[论文解读] Unitary Representations of Wavelet Groups and Encoding of Iterated Function Systems in Solenoids

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于扩张整数矩阵与数字集的几何数表示系统，通过ℒ上的无限词表示ℝᵈ中的点。建立了迭代函数系统（IFS）与Solenoid之间的对应关系，证明在由IFS动力学中环路导出的特定格点下，IFS吸引子可对ℝᵈ进行平移密铺，从而在符号空间与Solenoid上实现酉波let表示。

ABSTRACT

For points in $d$ real dimensions, we introduce a geometry for general digit sets. We introduce a positional number system where the basis for our representation is a fixed $d$ by $d$ matrix over $\bz$. Our starting point is a given pair $(A, \mathcal D)$ with the matrix $A$ assumed expansive, and $\mathcal D$ a chosen complete digit set, i.e., in bijective correspondence with the points in $\bz^d/A^T\bz^d$. We give an explicit geometric representation and encoding with infinite words in letters from $\mathcal D$. We show that the attractor $X(A^T,\mathcal D)$ for an affine Iterated Function System (IFS) based on $(A,\mathcal D)$ is a set of fractions for our digital representation of points in $\br^d$. Moreover our positional "number representation" is spelled out in the form of an explicit IFS-encoding of a compact solenoid $\sa$ associated with the pair $(A,\mathcal D)$. The intricate part (Theorem ef{thenccycl}) is played by the cycles in $\bz^d$ for the initial $(A,\mathcal D)$-IFS. Using these cycles we are able to write down formulas for the two maps which do the encoding as well as the decoding in our positional $\mathcal D$-representation. We show how some wavelet representations can be realized on the solenoid, and on symbolic spaces.

研究动机与目标

• 使用固定的d×d扩张整数矩阵A和完整的数字集ℒ，在ℝᵈ中构建位置数系统。
• 通过ℒ上的无限词对ℝᵈ中的点进行符号编码，将数字表示与Solenoid动力学联系起来。
• 通过IFS中的环路结构表征IFS吸引子X(Aᵀ, ℒ)在由格点平移下密铺ℝᵈ的条件。
• 通过所构建的编码在Solenoid和符号空间上实现酉波let表示。
• 通过对偶与群论方法，将经典的位置表示与密铺结果推广至高维非均匀情形。

提出的方法

• 将Solenoid 𝒮_A构造为ℤᵈ[A⁻¹]的庞特里亚金对偶，即ℤᵈ在A作用下的归纳极限。
• 在𝒮_A上定义IFS (σ_l)_{l∈ℒ}，其由Aᵀ在对偶群上的作用诱导，其中σ_l(x) = Aᵀx + l mod ℤᵈ[A⁻¹]。
• 利用对偶同态î: ℝᵈ → 𝒮_A，将ℝᵈ嵌入Solenoid中，从而实现实数点的符号编码。
• 分析m_ℒ-环路——即满足|m_ℒ(σ_l(x))| = 1的点——其中m_ℒ(ξ) = ∑_{d∈ℒ} e^{2πi⟨d,ξ⟩}为掩码函数，识别极值环路。
• 将格点Λ定义为包含所有−C的最小不变格点，其中C为m_ℒ-极值环路，设定对偶格点Γ = Λ⁰。
• 利用环路结构与Hadamard三元组(A, ℒ, ℒ)的酉性，证明X(Aᵀ, ℒ)在Γ平移下密铺ℝᵈ。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用扩张矩阵A的通用数字集ℒ在ℝᵈ中构造位置数系统？
• RQ2 IFS动力学(σ_l)_{l∈ℒ}中的环路在确定吸引子X(Aᵀ, ℒ)的密铺格点中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，吸引子X(Aᵀ, ℒ)在格点Γ的平移下密铺ℝᵈ？
• RQ4 如何通过IFS编码在Solenoid 𝒮_A和符号空间上实现酉波let表示？
• RQ5 掩码函数m_ℒ的谱与密铺格点Γ之间的确切关系是什么？

主要发现

• 吸引子X(Aᵀ, ℒ)是所有在基A下具有ℒ数字表示的ℝᵈ点的集合，建立了IFS吸引子与数系统之间的直接联系。
• Solenoid 𝒮_A可通过ℒ上的无限词实现显式IFS编码，且嵌入î: ℝᵈ → 𝒮_A实现了数表示。
• 对于Hadamard三元组(A, ℒ, ℒ)，当且仅当对偶格点Γ = Λ⁰（其中Λ是由m_ℒ-极值环路C的−C生成的格点）时，吸引子X(Aᵀ, ℒ)密铺ℝᵈ。
• 在孪生龙形（A = [[1,1],[-1,1]]，ℒ = {0,1}×{0}）情况下，密铺格点为ℤ²，且X(Aᵀ, ℒ)在ℤ²平移下密铺ℝ²。
• 在Cloud Three（ℒ = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,1)}）情况下，密铺格点为2ℤ×ℤ，吸引子在该格点下密铺ℝ²。
• 在Cloud Nine示例中，密铺格点为ℤ×2ℤ，吸引子X(Aᵀ, ℒ)在该格点下密铺ℝ²，其结果通过掩码函数的环路分析得到验证。