[논문 리뷰] Universal Quantum Speedup for Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, and Tree-Search Algorithms

Shouvanik Chakrabarti, Pierre Minssen외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분기한정법, 분기절단법, 히우리스틱 트리검색 알고리즘에 대한 일반적인 양자 가속을 제공하는 Incremental-Quantum-Branch-and-Bound (I-QBB) 알고리즘을 소개한다. 이 알고리즘은 양자 확률 증폭과 적응형 검색 전략을 활용하여 고전적 대응물보다 거의 제곱근 수준의 가속을 달성하며, 고전적 복잡도가 $\tilde{O}(\text{poly}(d) \times \text{polylog}(Q) \times \text{poly}(d))$가 되는 조건에서 $Q$이고 해 깊이가 $d$일 때, 실용적인 경우인 Sherrington-Kirkpatrick 모델, 최대 독립집합 문제, 포트폴리오 최적화에서 $Q \gg d$를 만족한다.

ABSTRACT

Mixed Integer Programs (MIPs) model many optimization problems of interest in Computer Science, Operations Research, and Financial Engineering. Solving MIPs is NP-Hard in general, but several solvers have found success in obtaining near-optimal solutions for problems of intermediate size. Branch-and-Cut algorithms, which combine Branch-and-Bound logic with cutting-plane routines, are at the core of modern MIP solvers. Montanaro proposed a quantum algorithm with a near-quadratic speedup compared to classical Branch-and-Bound algorithms in the worst case, when every optimal solution is desired. In practice, however, a near-optimal solution is satisfactory, and by leveraging tree-search heuristics to search only a portion of the solution tree, classical algorithms can perform much better than the worst-case guarantee. In this paper, we propose a quantum algorithm, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound, with universal near-quadratic speedup over classical Branch-and-Bound algorithms for every input, i.e., if classical Branch-and-Bound has complexity $Q$ on an instance that leads to solution depth $d$, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound offers the same guarantees with a complexity of $ ilde{O}(\sqrt{Q}d)$. Our results are valid for a wide variety of search heuristics, including depth-based, cost-based, and $A^{\ast}$ heuristics. Universal speedups are also obtained for Branch-and-Cut as well as heuristic tree search. Our algorithms are directly comparable to commercial MIP solvers, and guarantee near quadratic speedup whenever $Q \gg d$. We use numerical simulation to verify that $Q \gg d$ for typical instances of the Sherrington-Kirkpatrick model, Maximum Independent Set, and Portfolio Optimization; as well as to extrapolate the dependence of $Q$ on input size parameters. This allows us to project the typical performance of our quantum algorithms for these important problems.

연구 동기 및 목표

• 혼합정수계획법(MIPs)을 해결할 때, 고전적 솔버가 조기 정지와 히우리스틱을 사용함에 따라 이론적 양자 가속과 실용적 성능 사이의 격차를 해소하고자 한다.
• 모든 입력에 대해 고전적 분기한정법에 대해 일반적인 가속을 제공하는 양자 알고리즘을 개발하고자 한다. 이는 히우리스틱이나 문제 인스턴스에 관계없이 적용 가능하다.
• 최악의 경우에만 증명 가능한 양자 우월성을 실제 성능으로 확장하고자 하며, 고전적 솔버가 종종 근사 최적해를 빨리 도출함에 따라 실제 실행 시간이 최악의 경계 이하로 줄어드는 상황에서의 성능을 고려하고자 한다.
• 대표적인 MIP 문제인 Sherrington-Kirkpatrick 스핀글라스 모델, 최대 독립집합 문제, 정수 제약 조건이 있는 평균-분산 포트폴리오 최적화에서 양자 가속을 실증적으로 검증하고자 한다.

제안 방법

• 분기한정법의 고전적 트리 탐색 히우리스틱과 양자 확률 증폭을 통합하여 해 트리 탐색을 가속화하는 Incremental-Quantum-Branch-and-Bound (I-QBB) 알고리즘을 제안한다.
• 해 트리 상에서의 적응형 양자 검색을 사용하며, 검색 공간은 고전적 히우리스틱(예: 깊이, 비용, 또는 A*)에 따라 잘라내지고, 남은 노드에 대해 양자 확률 증폭을 적용한다.
• 확률 증폭의 수정된 버전을 적용하여 $Q$가 고전적 복잡도이고 $d$가 해 깊이라면 복잡도를 $\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$로 줄일 수 있으며, 이는 $Q \gg d$라는 가정 하에 성립한다.
• 절단평면 루틴과 결합하여 분기절단법으로의 확장을 위해 프레임워크를 확장하며, 최적성 갭에 대한 경계를 유지한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 세 가지 문제 유형에 대해 문제 크기 $n$에 대한 $Q$를 추정하고, 지수 성장률을 $O(2^{\alpha n})$로 피팅한다.
• Gurobi와 CPLEX의 중앙값 및 평균 노드 수에 대한 회귀 분석을 수행하여 문제 인스턴스 전반에 걸친 양자 성능 스케일링을 예측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 입력에 대해 최악의 경우가 아닌 일반적인 상황에서도 고전적 분기한정법보다 양자 알고리즘이 거의 제곱근 수준의 가속을 달성할 수 있는가?
• RQ2 고전적 솔버가 히우리스틱과 조기 정지를 사용함에 따라 실제 실행 시간이 최악의 경계 이하로 줄어들 때, 양자 가속이 유지되는가?
• RQ3 실용적인 MIP 문제인 Sherrington-Kirkpatrick 모델, 최대 독립집합 문제, 포트폴리오 최적화에서 고전적 복잡도 $Q$와 해 깊이 $d$ 사이의 실증적 스케일링 관계는 어떠한가?
• RQ4 절단 평면과 동적 프루닝 통합을 고려할 때, 분기절단법 및 일반 히우리스틱 트리 검색에 적용했을 경우에도 양자 알고리즘이 증명 가능한 가속을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• Sherrington-Kirkpatrick 모델에서, Gurobi를 사용할 경우 고전적 노드 탐색 복잡도는 $O(2^{0.494n})$이며 CPLEX를 사용할 경우 $O(2^{0.513n})$로 나타나며, $r^2 > 0.996$로 나타나 $Q \gg d$임을 확인한다.
• 최대 독립집합 문제에서는 CPLEX를 사용할 경우 $O(2^{0.0339n})$, Gurobi를 사용할 경우 $O(2^{0.0373n})$이며, $r^2 > 0.989$로 나타나 $Q \gg d$임을 확인한다.
• 평균-분산 포트폴리오 최적화에서는 Gurobi를 사용할 경우 $O(2^{0.195n})$, CPLEX를 사용할 경우 $O(2^{0.140n})$이며, $r^2 > 0.898$로 나타나 다시 한번 $Q \gg d$임을 확인한다.
• I-QBB 알고리즘은 $\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$의 복잡도를 보장하며, $Q \gg d$ 조건에서 고전적 $Q$에 비해 거의 제곱근 수준의 가속을 달성한다. 이는 세 문제 유형 전반에 걸쳐 성립한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 양자 가속이 이론적으로 증명 가능한 것뿐 아니라 실질적인 MIP 인스턴스에서 의미 있는 성능 향상임을 확인한다.