[论文解读] Untangling two systems of noncrossing curves

Jiřı́ Matoušek, Eric Sedgwick+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 7

一句话总结

本文研究通过固定边界的同胚变换，最小化紧致二维曲面上两组非交叉曲线之间的交叉数。证明了在平面曲面（带孔的球面）上，交叉数可减少至 O(mn)；在具有 h 个孔的亏格为 g 的一般曲面上，交叉数的上界为 O((m+n)^4)，且该上界与 h 和 g 无关，使用了德恩扭转和图在曲面上的嵌入等拓扑技术。

ABSTRACT

We consider two systems of curves $(α_1,...,α_m)$ and $(β_1,...,β_n)$ drawn on a compact two-dimensional surface $M$ with boundary. Each $α_i$ and each $β_j$ is either an arc meeting the boundary of $M$ at its two endpoints, or a closed curve. The $α_i$ are pairwise disjoint except for possibly sharing endpoints, and similarly for the $β_j$. We want to "untangle" the $β_j$ from the $α_i$ by a self-homeomorphism of $M$; more precisely, we seek a homeomorphism $ϕ:M ightarrow M$ fixing the boundary of $M$ pointwise such that the total number of crossings of the $α_i$ with the $ϕ(β_j)$ is as small as possible. This problem is motivated by an application in the algorithmic theory of embeddings and 3-manifolds. We prove that if $M$ is planar, i.e., a sphere with $h\geq 0$ boundary components ("holes"), then $O(mn)$ crossings can be achieved (independently of $h$), which is asymptotically tight, as an easy lower bound shows. In general, for an arbitrary (orientable or nonorientable) surface $M$ with $h$ holes and of (orientable or nonorientable) genus $g$, we obtain an $O((m+n)^4)$ upper bound, again independent of $h$ and $g$. The proofs rely, among others, on a result concerning simultaneous planar drawings of graphs by Erten and Kobourov.

研究动机与目标

• 通过固定边界点的自同胚变换，最小化紧致二维曲面上两组两两不相交、非交叉曲线之间的交叉数。
• 确定在经过此类同胚变换后，可实现的最小交叉数的渐近最坏情况上界，该上界依赖于曲面的亏格和边界分量数。
• 发展拓扑与组合技术，包括德恩扭转和图在曲面上的嵌入，以实现与曲面复杂度无关的高效解缠。

提出的方法

• 使用德恩扭转和同伦变换，调整一组曲线（B）相对于另一组曲线（A）的位置，同时保持边界条件不变。
• 将边界分量收缩为点，以简化曲面，将问题转化为无边界的非可定向或可定向曲面。
• 从曲线组 B 的端点和曲线构造图 G，然后将其嵌入到具有可控亏格的曲面中，以应用拓扑图论结果。
• 应用 Erten 和 Kobourov 关于同时平面图绘制的结果，将具有有界交叉数的图进行嵌入。
• 使用定向增强曲线和对偶图，迭代修正曲线方向与边界分量之间的不相容性。
• 对曲线进行微扰和重新展开，以恢复原始曲面结构，同时保持交叉数在有界范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过固定边界的同胚变换，能否将曲面上两组非交叉曲线之间的最小交叉数降至多少？
• RQ2 该最小交叉数是否可以独立于曲面的孔数 h 和亏格 g 而有界？
• RQ3 德恩扭转和同伦变换在解缠过程中如何帮助减少交叉数？
• RQ4 可使用哪些拓扑不变量或图论工具来构造最小化交叉数的同胚变换？
• RQ5 是否可能实现一个关于交叉数的次二次或多项式上界，且该上界与曲面复杂度无关？

主要发现

• 对于平面曲面（亏格 0，h 个孔），两组分别含 m 和 n 条非交叉曲线的交叉数可被减少至 O(mn)，该界在渐近意义下是紧致的。
• 对于一般亏格为 g 且有 h 个孔的曲面，交叉数可被减少至 O((m+n)^4)，且该上界与 g 和 h 均无关。
• 该上界通过德恩扭转、同伦变换以及在具有可控亏格的曲面上进行图嵌入的组合方法实现。
• 证明依赖于边界分量的收缩、从曲线端点构造图，以及使用对偶图来修正方向不相容性。
• 该构造确保在修正过程中引入的新交叉数保持在 O(g + n) 范围内，从而维持整体多项式上界。
• 该结果对可定向和不可定向曲面均成立，且在 m 和 n 的渐近意义下具有相同的上界。