[論文レビュー] Unwrapped continuation invariance in Lagrangian Floer theory: energy and $C^0$ estimates

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Weinstein多様体上の角錐的または漸近的に角錐的な端を持つラグランジュ部分多様体に対して、ラグランジュFloer homologyにおけるアンラップド継続写像の不変性を確立する。ハミルトニアンアイソトピー下での擬全純写像の一様なエネルギーおよび $ C^0 $ 界を証明することにより、ホモロジーに同型を誘導する標準的なチェーン写像を構成する。これは、元の非コンパクトラグランジュ部分多様体上にグローバルなチェーン写像が存在しない場合でも成立する。

ABSTRACT

We consider pairs of Lagrangian submanifolds $(L_0,L), (L_1, L)$ belonging to the class of Lagrangian submanifolds with \emph{conic} ends on \emph{Weinstein manifolds}. The main purpose of the present paper is to define a canonical chain map $h_\CL: CF(L_0,L) o CF(L_1,L)$ of Lagrangian Floer complex inducing an isomorphism in homology, under the Hamiltonian isotopy $\CL=\{L_s\}_{0 \leq s\leq 1}$ generated by \emph{conic} Hamiltonian functions such that the intersections $L \cap L_s$ do not escape to infinity. The main ingredients of the proof is an a priori bound for general isotopy of the energy \emph{quadratic} at infinity and a $C^0$-bound for the \emph{$C^1$-small} isotopy $\CL = \{L_s\}$, for the associated pseudo-holomorphic map equations with \emph{moving} Lagrangian boundary induced by a conic Hamiltonian isotopy. For the Lagrangian submanifolds with \emph{asymptotically conic} ends, we construct a natural homomorphism $h_\LL: HF(L_0,L) o HF(L_1,L)$ for which the corresponding chain map may \emph{not} necessarily exist. This provides a more conventional construction of the chain isomorphism which replaces the sophisticated method using the Lagrangian cobordism via the machinery of \cite{kasturi-oh1,kasturi-oh2} whose details were only outlined in \cite{oh:gokova}.

研究の動機と目的

• 非コンパクトラグランジュ部分多様体が角錐的端を持つ場合のアンラップドラグランジュFloerホモロジーにおける標準的チェーン写像の欠如を解決すること。
• 非コンパクトな設定下でのハミルトニアンアイソトピー下での擬全純写像に対する事前エネルギーおよび $ C^0 $ 界を確立すること。
• グローバルなチェーン写像が存在しない状況においても、標準的同型 $ h_{\tilde{\rho}}: HF(L_0, L) \to HF(L_1, L) $ を構成すること。
• 逆極限による切断されたFloer複体の系列を用いて、継続不変性の原則を漸近的に角錐的なラグランジュ部分多様体へ拡張すること。
• 非正確で非コンパクトなラグランジュ部分多様体を有するWeinstein多様体上での $ A_\infty $-構造およびアンラップドFukayaカテゴリの構成の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• アイソトピー $ \{L_s\} $ を $ T^*\mathbb{R} \times M $ 上のサスペンションコーボルディズム構成により持ち上げることで、解析が扱いやすい幾何的設定を得る。
• 強い最大原理および単調性の議論を適用し、摂動されたコーシー＝リーマン方程式の解に対して二次的なエネルギー界を導出する。
• $ C^1 $-小なアイソトピーに対しては、動くラグランジュ境界条件を有する擬全純写像の点ごとの微分を制御することで、 $ C^0 $-界を確立する。
• コンパクト台付きハミルトニアンアイソトピーを用いて、大きな $ R $ に対して、切断されたFloer複体 $ CF(L_{0,R}, L_R) \to CF(L_{1,R}, L_R) $ 上にチェーン写像 $ h_{\mathcal{L}_R} $ を構成する。
• $ R \to \infty $ の極限において、これらの写像の逆極限をとることで、完全なホモロジー群上での標準的同型 $ h_{\mathcal{L}} $ を得る。
• 切断された複体 $ \{CF(L_{0,R}, L_R)\} $ の逆系構造と、整合的なチェーン写像 $ \iota_{RR'} $ を用いて、極限によるアンラップドホモロジーを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト性のためグローバルなチェーン写像が存在しない場合に、アンラップドラグランジュFloerホモロジーにおいて標準的チェーン写像を構成することは可能か？
• RQ2 擬全純曲線が動くラグランジュ境界を持つ場合、コンパクト性および正則性を保証するために必要な、特にエネルギーおよび $ C^0 $ の事前界とは何か？
• RQ3 Weinstein多様体上に角錐的または漸近的に角錐的な端を持つラグランジュ部分多様体に対して、継続不変性をどのように確立できるか？
• RQ4 非正確で非コンパクトなラグランジュ部分多様体に角錐的端を持つ場合、標準的な $ A_\infty $-構造の道具立てをどの程度まで適応可能にできるか？
• RQ5 漸近的に角錐的なラグランジュ部分多様体のペアのアンラップドFloerホモロジーは、切断されたFloer複体の逆極限と同型であるか？

主な発見

• ハミルトニアンアイソトピー下での摂動されたコーシー＝リーマン方程式の有限エネルギー解に対して、一様なエネルギー界 $ E_{g_{(\psi,J)}}(u) \leq C_6 $ が確立され、ここで $ C_6 $ は解 $ u $ に依存せず、ホモトピー型 $ A $ およびデータ $ (F,J) $ のみに依存する。
• 擬全純写像の $ C^0 $-界は、点ごとの微分の推定により証明され、アイソトピー下でも写像の像が無限遠に逸脱しないことを保証する。
• 標準的チェーン写像 $ h_{\mathcal{L}}: HF(L_0, L) \to HF(L_1, L) $ は、チェーン写像 $ h_{\mathcal{L}_R} $ の逆極限として構成され、この写像はホモロジーに同型を誘導する。
• この構成はグローバルなチェーン写像 $ CF(L_0, L) \to CF(L_{1}, L) $ を与えないが、逆極限系のレベルでホモロジーの同型を定義する。
• エネルギー界はハミルトニアンアイソトピーに限らず、局所ハミルトニアンベクトル場によって生成される一般のシンプレクティックアイソトピーに対しても成り立つ。
• この枠組みは $ A_\infty $-設定へ拡張可能である：エネルギーおよび $ C^0 $ 界が整備された状態では、非正確で非コンパクトなラグランジュ部分多様体に対するアンラップドFukayaカテゴリの完全な $ A_\infty $-構造は、[FOOO1]と同様の方法で構築可能である。