[論文レビュー] Upper bounds on quantum query complexity inspired by the elitzur-vaidman bomb tester

Cedric Yen-Yu Lin, Han-Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、エリーツゥル＝ヴァイドマンの爆弾テストにインspiredされた新しい量子クエリモデル、爆弾クエリ複雑度B(f)を導入し、B(f) = Θ(Q(f)²)であることを示している。このモデルにより、古典的アルゴリズムから非構成的上界を導出し、それらを明示的な量子アルゴリズムで達成可能にする手法が提供され、単一始点最短経路問題（O(n¹.⁵)）および最大二部マッチング問題（O(n¹.⁷⁵)）において、改善された境界が得られる。

ABSTRACT

Inspired by the Elitzur-Vaidman bomb testing problem [19], we introduce a new query complexity model, which we call bomb query complexity B(f). We investigate its relationship with the usual quantum query complexity Q(f), and show that B(f) = Θ(Q(f)2).This result gives a new method to upper bound the quantum query complexity: we give a method of finding bomb query algorithms from classical algorithms, which then provide nonconstructive upper bounds on [EQUATION]. We subsequently were able to give explicit quantum algorithms matching our upper bound method. We apply this method on the single-source shortest paths problem on unweighted graphs, obtaining an algorithm with O(n1.5) quantum query complexity, improving the best known algorithm of [EQUATION] [21]. Applying this method to the maximum bipartite matching problem gives an O(n1.75) algorithm, improving the best known trivial O(n2) upper bound.

研究の動機と目的

• エリーツゥル＝ヴァイドマンの爆弾テストの思考実験にインspiredされた新しい量子クエリ複雑度モデルの開発。
• 爆弾クエリ複雑度B(f)と標準的量子クエリ複雑度Q(f)の関係の確立。
• 古典的アルゴリズムを用いてQ(f)の非構成的上界を導出するための手法の提供。
• 特にグラフ問題に対して、導出された上界を達成する明示的な量子アルゴリズムの構築。
• 単一始点最短経路問題および最大二部マッチング問題における既知の量子クエリ複雑度の境界の改善。

提案手法

• エリーツゥル＝ヴァイドマンの爆弾テストから得られる量子干渉および遅延測定の原則に基づいた、新たなクエリモデル、爆弾クエリ複雑度B(f)を導入。
• B(f)と標準的量子クエリ複雑度Q(f)のタイトな関係を確立し、B(f) = Θ(Q(f)²)を証明。
• 古典的アルゴリズムを入力として、B(f)モデルを介してQ(f)の非構成的上界を生成。
• 古典的→爆弾→量子のパイプラインから導出された上界を達成する明示的な量子アルゴリズムを構築。
• グラフ問題にこの手法を適用するため、量子干渉を用いて古典的解法をシミュレートする爆弾クエリアルゴリズムを設計。
• クエリ複雑度解析を通じて、得られた量子アルゴリズムの効率を検証し、特定の問題に対して改善された境界を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 爆弾クエリ複雑度B(f)と標準的量子クエリ複雑度Q(f)の関係は何か？
• RQ2 爆弾クエリモデルを介して、古典的アルゴリズムを体系的に量子クエリ複雑度の上界に変換できるか？
• RQ3 爆弾クエリモデルから導出された上界を達成する明示的な量子アルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 この手法を用いることで、単一始点最短経路問題といった基本的グラフ問題のクエリ複雑度にどのような改善が得られるか？
• RQ5 最大二部マッチングのクエリ複雑度において、爆弾クエリモデルは既存のアプローチと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 爆弾クエリ複雑度B(f)は、標準的量子クエリ複雑度の二乗によってタイトに束縛され、B(f) = Θ(Q(f)²)である。
• 古典的アルゴリズムを用いてB(f)モデルを介してQ(f)の非構成的上界を導出する一般的手法が確立された。
• 爆弾クエリフレームワークを介して導出された上界を達成する明示的な量子アルゴリズムが構築された。
• 無重みグラフにおける単一始点最短経路問題に対して、本手法によりO(n¹.⁵)の量子クエリ複雑度が得られ、従来の結果を改善した。
• 最大二部マッチング問題に対しては、O(n¹.⁷⁵)の量子クエリ複雑度が得られ、自明なO(n²)の境界を改善した。
• 量子干渉および遅延測定の原則を活用することで、量子クエリスピードアップを構成的に達成する新たな道筋が提供された。