[論文レビュー] Vertex Algebras at the Corner

Davide Gaiotto, Miroslav Rapčák|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、$N=4$ スーパーヤンミルス理論における超対称インターフェースの接合から生じる、新たな頂点 operator 代数 $Y_{L,M,N}[ heta]$ のクラスを導入する。この代数は、$L$, $M$, $N$ の置換および結合定数 $\theta = -\epsilon_2/\epsilon_1$ の双対変換に対して $S_3$ 三重対称性を示す。構成法は WZW 代数と自由系の BRST 減少を含み、$W_N$ 代数を一般化するとともに、S 対称性から帰属する新たな双対性関係を実現する。縮退したモジュールは超群の重量でラベル付けされ、三重対称性によって置換される。

ABSTRACT

We introduce a class of Vertex Operator Algebras which arise at junctions of supersymmetric interfaces in ${\cal N}=4$ Super Yang Mills gauge theory. These vertex algebras satisfy non-trivial duality relations inherited from S-duality of the four-dimensional gauge theory. The gauge theory construction equips the vertex algebras with collections of modules labelled by supersymmetric interface line defects. We discuss in detail the simplest class of algebras $Y_{L,M,N}$, which generalizes $W_N$ algebras. We uncover tantalizing relations between $Y_{L,M,N}$, the topological vertex and the $W_{1+\infty}$ algebra.

研究の動機と目的

• 超対称インターフェースの角に現れる新たな頂点 operator 代数 $Y_{L,M,N}[\theta]$ を定義すること。
• これらの代数が、ゲージ理論の S 対称性から帰属する非自明な双対性関係、特に $S_3$ 三重対称性を満たすことを確立すること。
• 超群 $U(L|M)$, $U(M|N)$, $U(N|L)$ の表現によってラベル付けされたモジュールを構成し、それらが三重対称性によって置換されることを示すこと。
• $Y_{L,M,N}[\theta]$ 代数が、ゲージ理論の実現を通じてトポロジカル・バーテックスおよび $W_{1+\infty}$ 代数とどのように関係するかを結びつけること。
• 超群 WZW モデルと自由系の BRST 減少を通じて、結合定数 $\theta$ が双対性を符号化する形で、標準的な $W_N$ 代数を一般化すること。

提案手法

• 超群 WZW 代数 $U(N|L)_{\theta} \times U(M|L)_{1-\theta}$ の BRST 減少により $Y_{L,M,N}[\theta]$ を構成する。
• 適切な VOA が得られるように、追加の $bc$ および $\beta\gamma$ ゲージ系を BRST コンプレックスに含める。
• 三つの $U(L)$, $U(M)$, $U(N)$ ゲージ群が接合点で出会う GL トランスフォームを施した $\nN=4$ SYM のゲージ理論フレームワークを用いて、構成の動機を提示する。
• パrameter $\theta$ を用いた 3次元 $\nN=4$ 超共形代数の変形を導入し、これにより異なる境界条件を補間し、GL トランスフォームを可能にする。
• 4次元ゲージ理論の S 対称性を活用し、$Y_{L,M,N}[\theta]$ が $\theta \to 1-\theta$ および $\theta \to \theta^{-1}$ に対して不変であり、それに応じたラベルの置換が生じるとの予想を立てる。
• 三つのパrameter $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ を用いて三重対称性を定義し、$\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 = 0$ および $\theta = -\epsilon_2/\epsilon_1$ を満たす。この下で $Y_{L,M,N}[\theta]$ は共変的に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\nN=4$ SYM における超対称インターフェースの接合から頂点 operator 代数を体系的に構成できるか？
• RQ2 これらの VOAs が示す双対性対称性は何か？ そして、それらは元のゲージ理論における S 対称性とどのように関係するか？
• RQ3 なぜ $Y_{L,M,N}[\theta]$ の縮退モジュールが生じるのか？ また、それらは超群 $U(L|M)$, $U(M|N)$, $U(N|L)$ の表現によってどのようにラベル付けされるか？
• RQ4 $Y_{L,M,N}[\theta]$ とトポロジカル・バーテックス、または $W_{1+\infty}$ 代数との正確な関係は何か？
• RQ5 三重対称性 $Y_{L,M,N}[\theta]$ は幾何学的に実現可能か、あるいは弦理論的構成によって実現可能か？ そして、これはフェイジン＝フレンケル双対性をどのように一般化するか？

主な発見

• 頂点 operator 代数 $Y_{L,M,N}[\theta]$ は、$U(N|L)_{\theta} \times U(M|L)_{1-\theta}$ および追加の $bc$ と $\beta\gamma$ システムの BRST 減少により構成され、整合的な VOAbra が得られる。
• $Y_{L,M,N}[\theta]$ は $S_3$ 三重対称性を示す：$Y_{L,M,N}[\theta] = Y_{N,L,M}[1/(1-\theta)] = Y_{M,N,L}[1 - 1/\theta]$ であり、ラベルと結合定数が $PSL(2,\mathbb{Z})$ に沿って変換される。
• $L=M=0$ の場合、$Y_{0,0,N}[\theta]$ はパラメータ $b^2 = -\theta$ を持つ標準的な $W_N$ 代数に還元され、既知のフェイジン＝フレンケル双対性と整合することが確認される。
• $Y_{N,0,0}[1 - \theta^{-1}]$ は、コセット構成 $\frac{SU(N)_{\theta/(1-\theta) - N} \times SU(N)_1}{SU(N)_{1/(1-\theta) - N}}$ と等価であり、$W_N$ の三重対称性実現である。
• 縮退モジュール $D_\nu$, $H_\lambda$, $W_\mu$ が存在し、それぞれ $U(L|M)$, $U(M|N)$, $U(N|L)$ の重量によってラベル付けされ、三重対称性によって置換される。
• S 対称性およびインターフェースの置換が、VOA の双対性関係を示唆する 4次元ゲージ理論の設定（$Y$ 形の半BPS インターフェース接合）に基づいて、構成が動機づけられている。