[論文レビュー] Wall-Crossings in Toric Gromov-Witten Theory II: Local Examples

Tom Coates|ArXiv.org|Apr 16, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ミラー対称性とギヴェンタルのシンプレクティック形式主義を用いて、六つのトーリックオルビフォールド例（包絡的解体、部分的解体、およびフロップを含む）に対して、Crepant Resolution Conjecture の Coates–Corti–Iritani–Tseng/Ruan 形式を検証する。量子コホモロジーが双有理変換の下で保存されるのは、量子パラメータによる補正が加わる場合に限ることを示し、Ruan の元々の予想は量子補正を含む形に修正される必要があると示唆する。

ABSTRACT

In this paper we analyze six examples of birational transformations between toric orbifolds: three crepant resolutions, two crepant partial resolutions, and a flop. We study the effect of these transformations on genus-zero Gromov-Witten invariants, proving the Coates-Corti-Iritani-Tseng/Ruan form of the Crepant Resolution Conjecture in each case. Our results suggest that this form of the Crepant Resolution Conjecture may also hold for more general crepant birational transformations. They also suggest that Ruan's original Crepant Resolution Conjecture should be modified, by including appropriate "quantum corrections", and that there is no straightforward generalization of either Ruan's original Conjecture or the Cohomological Crepant Resolution Conjecture to the case of crepant partial resolutions. Our methods are based on mirror symmetry for toric orbifolds.

研究の動機と目的

• トーリックオルビフォールドにおける genus-zero グロモフ＝ウィッテン不変量が双有理変換の下でどのように振る舞うかを調査すること。
• 多様な局所的トーリック例において、Coates–Corti–Iritani–Tseng/Ruan 形式の包絡的解体予想の妥当性を検証すること。
• Ruan の元々の予想が部分的解体へ一般化可能かどうか、あるいは修正が必要かどうかを評価すること。
• 双有理的モデル間の量子コホモロジー代数を結ぶために、量子補正が必要かどうかを調査すること。
• ミラー対称性を用いて、トーリック・グロモフ＝ウィッテン理論におけるウォールクロッシングを理解するための枠組みを確立すること。

提案手法

• トーリックオルビフォールドのミラー対称性を用いて、I 関数およびその解析接続を用いて genus-zero グロモフ＝ウィッテン不変量を計算する。
• ギヴェンタルのシンプレクティック形式主義を用いて、シンプレクティックベクトル空間内のラグランジュ部分多様体の芽として量子コホモロジーを符号化する。
• 解体空間 $ Y $ の小量子コホモロジーの量子パラメータに対する解析接続を適用する。
• 変数変換 $ q_i = f_i(u_1, \dots, u_s) $ を実装する。ここで $ f_i $ は高次量子補正を含む。この変換により、オルビフォールド $ \mathcal{X} $ の量子コホモロジーと一致させる。
• 相関関数の明示的計算を通じて、解析接続された $ Y $ の量子コホモロジーと $ \mathcal{X} $ の小量子コホモロジーの間の同型を検証する。
• I 関数およびその微分を用いて、特定のグロモフ＝ウィッテン不変量 $ A_{n,m} $, $ B_{n,m} $, $ a_d $, $ b_d $, $ c_d $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包絡的解体および部分的解体におけるトーリックオルビフォールドに対して、Coalesced–Corti–Iritani–Tseng/Ruan 形式の包絡的解体予想は成り立つか？
• RQ2 Ruan の元々の包絡的解体予想は部分的解体へ一般化可能か、それとも修正が必要か？
• RQ3 双有理的トーリックオルビフォールド間の量子コホモロジーを結ぶために、量子補正は必要か？また、それらはどのように符号化されるか？
• RQ4 ケーラーmoduli空間におけるウォールクロッシングは、トーリック設定におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の構造にどのように影響するか？
• RQ5 結果は、元の枠組みを越えて、量子補正付きの Ruan の予想をどの程度支持するか？

主な発見

• 六例すべてにおいて、Coates–Corti–Iritani–Tseng/Ruan 形式の包絡的解体予想が成り立つ：三例の包絡的解体、二例の包絡的部分的解体、および一例のフロップ。
• オルビフォールド $ \mathcal{X} = [\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_3] $ の量子コホモロジーは、変数変換 $ q = u^{-1} $ を施した後に、その包絡的解体 $ Y $ の解析接続された量子コホモロジーと同型である。
• $ \mathcal{X} = [\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_4] $ の場合、genus-zero 不変量 $ A_{n,m} $ および $ B_{n,m} $ を明示的に計算した。$ A_{4,0} = -1/8 $, $ B_{3,0} = 1/32 $, $ B_{4,0} = -1/32 $ などの値を得ており、量子補正構造が確認された。
• $ K_{\mathbb{P}(1,1,2)} $ の場合、$ d \leq 6 $ に対して不変量 $ a_d $, $ b_d $, $ c_d $ を計算した。$ a_1 = -7/2 $, $ b_1 = 11\lambda/4 $, $ c_{1/2} = -2 $ であり、予想された量子補正メカニズムと整合的である。
• 結果から、Ruan の元々の予想は、部分的解体に対しては失敗し、非根の単位根でない定数 $ \omega_i $ が必要となることから、量子補正を含む形に修正される必要があると示唆される。
• 二例の部分的解体例における明示的計算により、コホモロジカル包絡的解体予想が部分的解体へ直接一般化できないことが確認された。