[論文レビュー] Weak Galerkin Finite Element Methods for the Biharmonic Equation on Polytopal Meshes

Lin Mu, Junping Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、一般の多面体メッシュ上で不連続な分(piecewise)多項式を用いて、双曲型方程式に対する新しい弱ガレルキン有限要素法を提案する。この手法は、離散的$H^2$ノルムにおいて最適収束性を達成し、多項式の次数に応じて最適または準最適な収束性を$L^2$ノルムで示す。また、対称的で正定値であり、パrameterフリーな定式化である。

ABSTRACT

A new weak Galerkin (WG) finite element method is introduced and analyzed in this paper for the biharmonic equation in its primary form. This method is highly robust and flexible in the element construction by using discontinuous piecewise polynomials on general finite element partitions consisting of polygons or polyhedra of arbitrary shape. The resulting WG finite element formulation is symmetric, positive definite, and parameter-free. Optimal order error estimates in a discrete $H^2$ norm is established for the corresponding WG finite element solutions. Error estimates in the usual $L^2$ norm are also derived, yielding a sub-optimal order of convergence for the lowest order element and an optimal order of convergence for all high order of elements. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence under suitable regularity assumptions.

研究の動機と目的

• C^1連続な有限要素空間を必要としない、柔軟でロバストな双曲型方程式用の有限要素法の開発を目的とする。
• 一般の多角形または多面体メッシュ上での$H^2$適合要素を構築する計算上の困難を克服することを目的とする。
• 任意形状の要素に適用可能な弱ガレルキン定式化の数学的に厳密な収束理論を確立することを目的とする。
• 得られるスキームが対称的で正定値であり、ユーザーが調整可能なパrameterを含まないことを保証することを目的とする。

提案手法

• 変分定式化における古典的ラプラシアンの代わりに、離散的弱ラプラシアン作用素$\Delta_w$を導入する。
• 任意の形状正則性を持つ一般の多面体メッシュ上で不連続な分(piecewise)多項式を用いる。
• 離散解の弱連続性を強制するために、安定化項$s(u_h, v)$を組み込む。
• 対称的で正定値であり、パrameterフリーな弱ガレルキン定式化を構築する：$(\Delta_w u_h, \Delta_w v) + s(u_h, v) = (f, v)$。
• 収束解析の近似性質を導出するために、局所$L^2$射影作用素を用いる。
• 多様な要素上の多項式ノルムを評価するために、ドメイン逆不等式および形状正則性の仮定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多面体メッシュ上で、C^1連続性を要しない弱ガレルキン有限要素法が、双曲型方程式に対して最適収束性を達成できるか？
• RQ2 任意の次数の多項式近似に対して、WG法の離散的$H^2$ノルムにおける収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 特に最低次元要素の場合に、標準$L^2$ノルムにおける性能はどのようになるか？
• RQ4 この法が対称的で正定値であり、ユーザーが調整可能なパrameterを含まない形で定式化可能か？
• RQ5 一般メッシュ上での収束解析を支えるために必要な近似不等式および逆不等式は何か？

主な発見

• すべての多項式次数に対して、離散的$H^2$ノルムにおける最適順序の誤差推定が確立された。
• 最低次元要素の場合、$L^2$ノルムにおいて準最適収束率が達成された。
• それ以上の高次元要素は、すべて$L^2$ノルムで最適収束順序を達成した。
• この手法は対称的で正定値であり、パrameterフリーであるため、ロバスト性と実装の容易さを保証する。
• 数値実験により、適切な正則性仮定の下で理論的収束率が確認された。
• 特に、形状正則な要素上での多項式に対するドメイン逆不等式を含む、重要な逆不等式が厳密に導出され、解析に用いられた。