[论文解读] A Local Resolution of the Problem of Time. XIV. Grounding on Lie's Mathematics

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 81被引用 7

一句话总结

本文通过将背景无关性建立在李的数学基础上，使用李导数实现关系性，利用李括号实现闭包与可观测量代数，并在李代数刚性下运用形变理论，提出了量子引力中时间之谜的局域化解法。关键贡献在于构建了一个统一且易于理解的框架，使背景无关性的所有方面——关系性、闭包、可观测量、形变以及RIO不变性——均可系统地从李理论结构中推导而出，其中广义相对论的重铺展不变性被推广为RIO不变性。

ABSTRACT

In a major advance and simplification of this field, we show that A Local Resolution of the Problem of Time - also viewable as A Local Theory of Background Independence - can at the classical level be described solely by of Lie's Mathematics. This comprises i) Lie derivatives to encode Relationalism, including via solving the generalized Killing equation. ii) Lie brackets to formulate Closure, via Lie's Algorithm suitably extended to accommodate Dirac and topological insights, producing generator Lie algebraic structures: Lie algebras or algebroids. iii) Observables defined by Lie brackets relations, recastable as explicit PDE systems to be solved using the Flow Method, and constitute observables Lie algebras. iv) The `passing families of theories through the Dirac Algorithm' approach to Spacetime Construction from Space, and to obtaining more structure from less internally to each of space and spacetime separately, are identified as deformations that work selectively when Lie Algebraic Rigidity is encountered. v) Reallocation of Intermediary-Object (RIO) Invariance: the general Lie Theory's commuting-pentagon analogue of posing Refoliation Invariance for GR. i) to v) cover respectively the Relationalism, Closure, Observables, Deformations and RIO super-aspects of Background Independence, Lie Theory moreover already collates i) to iii) and the internal case of iv) as multiple interacting aspects. The Problem of Time's multiple interacting facets are then explained as, firstly, having 2 copies of this Lie collation, 1 for each of spacetime and space primalities. Secondly, a Wheelerian two-way route between these two primalities, comprising v) and iv)'s `spacetime from space' version. We further develop the Comparative Theory of Background Independence thus. We can even give a `pillars of the Foundations of Geometry' parallel of our Background Independence super-aspects.

研究动机与目标

• 通过将时间之谜重新表述为背景无关性的局域理论，解决量子引力中的时间之谜。
• 在单一李理论框架下统一背景无关性的多个方面——关系性、闭包、可观测量、形变以及RIO不变性。
• 通过将背景无关性建立在李的原始数学结构之上，简化并推广时间之谜文献，使其对研究生水平的研究者更具可及性。
• 识别李代数刚性和RIO不变性作为可行背景无关性理论的筛选原则。
• 通过Nijenhuis和Nambu数学将该框架的适用范围扩展至超对称与超引力理论。

提出的方法

• 使用李导数编码关系性，特别是通过求解配置或时空关系性的一般化基灵方程。
• 利用李括号表述闭包，将李的算法扩展以包含狄拉克与拓扑洞见，从而得到生成元李代数或李代数丛。
• 通过可观测量与对称性生成元的零括号关系定义可观测量，重新表述为可通过流法求解的一阶线性偏微分方程。
• 应用流法求解可观测量的偏微分方程组，将流解释为李群的积分曲线或1参数子群。
• 将“通过狄拉克算法传递理论族”识别为在李代数刚性下选择性作用的李代数结构形变过程。
• 引入中介物体重分配（RIO）不变性，作为重铺展不变性的广义化、可交换五边形类比，适用于广义相对论之外的理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅使用李的数学在经典层面解决时间之谜？
• RQ2 李导数、括号与代数如何共同统一背景无关性的五个超维度方面？
• RQ3 李代数刚性如何作为可行背景无关性理论的筛选原则？
• RQ4 RIO不变性在背景无关性框架中确保不同观察者之间观测一致性方面起什么作用？
• RQ5 如何利用流法全局赋予可观测量？底层几何中的奇点或非光滑性会产生何种影响？

主要发现

• 时间之谜与背景无关性统一于单一李理论框架下，所有五个超维度方面——关系性、闭包、可观测量、形变与RIO——均可从李结构中推导而出。
• 可观测量被证明构成李代数，其构造可归约为通过流法求解一阶线性偏微分方程。
• 当李算法结合狄拉克与拓扑洞见后，生成元李代数或李代数丛被构造出来，从而实现闭包，例如广义相对论中的狄拉克代数丛。
• 李代数刚性通过上同调群 $\mbox{H}^{2}(\mathfrak{g},\mathfrak{g})$ 表征，作为筛选原则，识别出可形变为更结构化形式的理论。
• RIO不变性作为可交换五边形条件，广义化了广义相对论的重铺展不变性，确保在不同中介对象与观察者框架之间的一致性。
• 该框架可通过Nijenhuis与Nambu数学扩展至超对称与超引力理论，表明其在广义相对论之外也具有广泛适用性。