[论文解读] A quantum algorithm to count weighted ground states of classical spin Hamiltonians

Bhuvanesh Sundar, Roger Paredes+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出改进的绝热量子优化（AQO）与量子近似优化算法（QAOA），用于计数经典自旋哈密顿量的加权基态，包括图上的边覆盖问题。通过重新加权最终量子态以实现重要性采样基态，该方法在基态权重较小时可实现超越经典最优蒙特卡洛模拟（OMCS）的亚二次量子加速，为含噪声中等规模量子（NISQ）设备在组合计数问题上实现量子优势提供了路径。

ABSTRACT

Ground state counting plays an important role in several applications in science and engineering, from estimating residual entropy in physical systems, to bounding engineering reliability and solving combinatorial counting problems. While quantum algorithms such as adiabatic quantum optimization (AQO) and quantum approximate optimization (QAOA) can minimize Hamiltonians, they are inadequate for counting ground states. We modify AQO and QAOA to count the ground states of arbitrary classical spin Hamiltonians, including counting ground states with arbitrary nonnegative weights attached to them. As a concrete example, we show how our method can be used to count the weighted fraction of edge covers on graphs, with user-specified confidence on the relative error of the weighted count, in the asymptotic limit of large graphs. We find the asymptotic computational time complexity of our algorithms, via analytical predictions for AQO and numerical calculations for QAOA, and compare with the classical optimal Monte Carlo algorithm (OMCS), as well as a modified Grover's algorithm. We show that for large problem instances with small weights on the ground states, AQO does not have a quantum speedup over OMCS for a fixed error and confidence, but QAOA has a sub-quadratic speedup on a broad class of numerically simulated problems. Our work is an important step in approaching general ground-state counting problems beyond those that can be solved with Grover's algorithm. It offers algorithms that can employ noisy intermediate-scale quantum devices for solving ground state counting problems on small instances, which can help in identifying more problem classes with quantum speedups.

研究动机与目标

• 为解决计数经典自旋哈密顿基态这一长期挑战，该问题在统计物理、工程可靠性与组合优化中具有重要意义。
• 将AQO与QAOA从基态最小化扩展至可精确估计加权基态计数，并支持用户指定的相对误差置信度。
• 展示在近期含噪声中等规模量子（NISQ）设备上实现计数问题量子加速的可行性。
• 比较所提量子算法与经典最优蒙特卡洛模拟（OMCS）及Grover方法的渐近时间复杂度。
• 识别QAOA在总基态权重较小时对计数问题实现亚二次加速的条件。

提出的方法

• 通过引入非均匀初始态和定制化的哈密顿量演化，对AQO与QAOA进行修改，确保最终量子态振幅与每个经典基态的权重成正比。
• 在QAOA中通过变分参数搜索优化角度αj与βj，使最终态振幅正确反映基态上的期望权重分布。
• 通过重复运行AQO或QAOA实施统计估计技术，利用对最终态的采样来估计基态的总权重。
• 对于边覆盖计数问题，将问题映射为一个经典伊辛型哈密顿量，其基态对应有效边覆盖，权重通过参数q分配。
• 分析AQO的解析时间复杂度与QAOA的数值时间复杂度，同时考虑算法演化时间与所需采样迭代次数。
• 采用改进的Grover oracle框架以实现振幅估计，确保量子态制备可用于高效计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 AQO与QAOA能否被调整以估计任意经典自旋哈密顿量的加权基态计数，而不仅限于寻找单一基态？
• RQ2 改进的QAOA在总基态权重较小时，是否对计数问题实现超越经典最优蒙特卡洛模拟（OMCS）的量子加速？
• RQ3 改进的AQO与QAOA算法的渐近时间量级为何？与经典方法及Grover方法相比如何？
• RQ4 在何种条件下，QAOA在估计基态总权重时表现出亚二次加速？
• RQ5 所提算法能否在当前NISQ设备上实现？变分参数搜索的资源需求为何？

主要发现

• 对于固定相对误差与置信度，线性时序的AQO无法实现超越经典OMCS的量子加速，因其时间标度慢于OMCS。
• 当基态总权重较小时，QAOA在与经典OMCS比较中实现亚二次加速，时间复杂度为T_QAOA ∼ 1/√P，其中P为基态总权重。
• 即使包含变分参数搜索与计数估计步骤的开销，QAOA的总计算时间在渐近意义上仍小于OMCS。
• 数值模拟证实，对于随机图与多种加权参数，QAOA在T_QAOA上表现出二次加速，支持一般图下亚二次标度的预期。
• 该方法可实现按权重比例的重要性采样基态，适用于工程与物理系统中的约束采样与计数。
• 该方法适用于一大类无法被现有量子计数算法高效求解的#P难计数问题，为实现量子优势开辟了新途径。