[论文解读] A Suggested Answer To Wallstrom's Criticism (I): Zitterbewegung Stochastic Mechanics

Maaneli Derakhshani|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 161被引用 5

一句话总结

本文提出zitterbewegung随机力学（ZSM），其中无自旋粒子在其静止参考系中以频率 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 持续进行zitterbewegung振荡。通过在该振荡的时间对称相位上施加保守扩散约束，速度势 $S$ 自然满足所需的量子化条件，从而通过哈密顿-雅可比-马德拉翁方程推导出薛定谔波函数，解决了Wallstrom的批评。

ABSTRACT

Wallstrom's criticism of existing formulations of stochastic mechanics is that they fail to derive the empirical predictions of orthodox quantum mechanics because they require an ad hoc quantization condition on the postulated velocity potential, \emph{S}, in order to derive Schr\odinger wave functions. We propose an answer to this criticism by modifying the Nelson-Yasue formulation of non-relativistic stochastic mechanics for a spinless particle with the following hypothesis: a spinless Nelson-Yasue particle of rest mass $m$ continuously undergoes a driven steady-state oscillation of `zitterbewegung' (\emph{zbw}) frequency, $\omega_{c}=\left(1/\hbar ight)mc^{2}$, in its instantaneous mean forward (and backward) translational rest frame. With this hypothesis we show that, in the lab frame, \emph{S} arises from imposing the constraint of conservative diffusions on the time-symmetrized steady-state phase of the \emph{zbw} particle, satisfies the required quantization condition, and evolves in time by the Hamilton-Jacobi-Madelung equations (when generalized to describe a statistical ensemble of \emph{zbw} particles). From the mathematical equivalence of Schr\odinger's equation with the Hamilton-Jacobi-Madelung equations plus the quantization condition, Schr\odinger wave functions for a spinless particle (in and excluding external fields) are thereby recovered. We also apply this `zitterbewegung stochastic mechanics' (ZSM) to the case of a central potential and show that it predicts angular momentum quantization. This paper sets the foundation for Part II, which will (primarily) work out the many-particle version of ZSM.

研究动机与目标

• 为解决Wallstrom的批评，即随机力学需要对速度势 $S$ 引入人为的量子化条件才能重现量子预测。
• 提出一种物理机制——在频率 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 下的zitterbewegung振荡——自然生成 $S$ 所需的量子化。
• 表明由此得到的 $S$ 满足哈密顿-雅可比-马德拉翁方程，并在无外场情况下对无自旋粒子推导出薛定谔波函数。
• 将该框架扩展至中心势场，并展示角动量量子化的预测。

提出的方法

• 在无自旋粒子的瞬时静止参考系中引入频率为 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 的zitterbewegung（zbw）振荡。
• 将粒子建模为在保守扩散约束下具有时间对称相位动力学的随机过程。
• 从zitterbewegung的相位推导出速度势 $S$，确保其自然满足量子化条件。
• 表明由此得到的 $S$ 按广义哈密顿-雅可比-马德拉翁方程演化，适用于zitterbewegung粒子的系综。
• 建立薛定谔方程与具有该 $S$ 的哈密顿-雅可比-马德拉翁方程之间的数学等价性，从而恢复量子波函数。
• 将该框架应用于中心势场，以展示角动量量子化的预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种物理解释的zitterbewegung振荡机制，能自然生成随机力学中速度势 $S$ 的量子化条件？
• RQ2 在保守扩散下，zitterbewegung粒子的时间对称相位是否产生满足所需量子化条件的速度势 $S$？
• RQ3 具有该 $S$ 的哈密顿-雅可比-马德拉翁方程能否在自由空间中重现无自旋粒子的薛定谔方程？
• RQ4 zitterbewegung随机力学框架是否能在中心势场中预测角动量量子化？
• RQ5 该方法是否能在不引入人为约束的情况下解决Wallstrom的批评？

主要发现

• 在粒子静止参考系中以频率 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 进行的zitterbewegung振荡，为速度势 $S$ 的量子化条件提供了物理起源。
• 从zitterbewegung的时间对称相位推导出的速度势 $S$ 自然满足所需的量子化条件，无需人为假设。
• 在实验室参考系中，$S$ 的演化遵循哈密顿-雅可比-马德拉翁方程，其与薛定谔方程在数学上等价。
• 该框架在无外场情况下成功恢复了无自旋粒子的薛定谔波函数。
• 当应用于中心势场时，该模型预测了角动量量子化，与量子力学一致。
• zitterbewegung随机力学（ZSM）为从随机动力学推导量子行为提供了基础机制，而无需假设量子化条件。