[论文解读] Approximating Maximin Shares with Mixed Manna.

Rucha Kulkarni, Ruta Mehta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于在混合曼纳（mixed manna）中近似最大化最小份额（MMS）分配的PTAS——在满足两个关键条件时：代理数量恒定，且每位代理对商品与杂务的价值差异显著。论文证明，若缺少这些条件，该问题将变为NP难，从而解决了在商品仅或杂务仅设置下恒定代理数量的开放问题。

ABSTRACT

We initiate the study of fair allocations of a mixed manna under the popular fairness notion of maximin share (MMS). A mixed manna allows an item to be a good for some agents and chore for others, hence strictly generalizes the well-studied goods (chores) only manna. For the good manna, Procaccia and Wang [PW14] showed non-existence of MMS allocation. This prompted works on finding an $\alpha$-MMS allocation. A series of works obtained efficient algorithms, improving $\alpha$ to $\frac{3}{4}$ for $n\ge 5$ agents. Computing an $\alpha$-MMS allocation for the maximum $\alpha$ for which it exists is known to be NP-hard. But the question of finding $\alpha$-MMS for the near best $\alpha$ remains unresolved. We make significant progress towards this question for mixed manna by showing a striking dichotomy: We derive two conditions and show that the problem is tractable under these, while dropping either renders the problem intractable. The conditions are: $(i)$ number of agents is constant, and $(ii)$ for every agent, her total value for goods differs significantly from that for chores. For instances satisfying $(i)$ and $(ii)$ we design a PTAS - an efficient algorithm to find $(\alpha-\epsilon)$-MMS allocation given $\epsilon>0$ for the best possible $\alpha$. We also show that if either condition is not satisfied then finding $\alpha$-MMS for any $\alpha\in(0,1]$ is NP-hard, even when solution exists for $\alpha=1$. As a corollary, our algorithm resolves the open question of designing a PTAS for the goods only setting with constantly many agents (best known $\alpha=\frac{3}{4}$), and similarly also for chores only setting. In terms of techniques, we use market equilibrium as a tool to solve an MMS problem, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决在恒定代理数量下，仅商品或仅杂务设置中设计MMS分配PTAS的开放问题。
• 识别在混合曼纳中（物品对某些人是商品，对其他人是杂务）MMS近似变得可解的精确条件。
• 建立一个清晰的二分法：当且仅当同时满足两个条件（恒定代理数量与每位代理的价值差异）时，MMS近似才可解。
• 证明，若任一条件被移除，即使存在完美的MMS分配，该问题也变为NP难。
• 引入市场均衡作为解决MMS问题的新工具，其潜在应用可能超越本研究。

提出的方法

• 提出一种PTAS，对任意ε>0，计算出(α−ε)-MMS分配，前提是满足两个关键条件：恒定代理数量与每位代理对商品和杂务的显著价值差异。
• 采用市场均衡框架来建模和求解MMS分配问题，利用竞争均衡概念平衡代理的估值。
• 设计一种舍入过程，将连续的市场均衡解转换为接近MMS阈值的离散分配。
• 证明在两个条件下，市场均衡可产生任意接近最优α-MMS值的解。
• 通过从已知的NP难问题归约，建立复杂性下界，表明放松任一条件都会使问题变得不可解。
• 通过比较每位代理对商品与杂务的总价值，分析价值差异条件，确保其足够分离以保证算法可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理数量恒定时，能否为仅商品或仅杂务设置中的MMS分配设计出PTAS？
• RQ2 在混合曼纳中，代理估值的何种结构条件能使MMS近似变得可解？
• RQ3 是否存在一个临界阈值，使得MMS近似在该阈值之后变为NP难，即使存在完美的1-MMS分配？
• RQ4 市场均衡的概念能否被有效重新用于解决公平分配问题，如MMS分配？
• RQ5 当移除代理数量或价值差异条件中的任一条件时，MMS分配的复杂性会发生什么变化？

主要发现

• 当代理数量恒定且每位代理对商品的总价值与对杂务的总价值显著不同时，混合曼纳中存在α-MMS分配的PTAS。
• 若任一条件被移除，则对任意α∈(0,1]寻找α-MMS分配均变为NP难，即使存在完美的1-MMS分配。
• 所提出的算法可实现对任意ε>0的(α−ε)-MMS分配，其中α是在给定条件下可达到的最佳近似比。
• 该结果解决了在恒定代理数量下，仅商品或仅杂务设置中设计PTAS的开放问题，优于此前最佳的α=3/4。
• 证明了将市场均衡作为MMS分配工具是有效的，可能为公平分配领域启发新的算法方法。
• 可解与不可解实例之间的二分法是严格的：两个条件同时为必要且充分。