[论文解读] Deformations of Lagrangian $NQ$-submanifolds

Miquel Cueca, Jonas Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics被引用 3

一句话总结

本文通过证明 graded 版本的 Darboux 定理和 Weinstein 柔性邻域定理，建立了在 $\atsym$-graded symplectic $Q$-manifolds 中 Lagrangian $Q$-submanifolds 的形变理论。它构造了一个控制形变的 $L_{\infty}$-代数，证明了该代数在柔性邻域选择下的不变性，并提供了形变模空间中规范等价关系的几何表征。

ABSTRACT

In this paper we prove graded versions of the Darboux Theorem and Weinstein's Lagrangian tubular neighbourhood Theorem in order to study the deformation theory of Lagrangian $NQ$-submanifolds of degree $n$ symplectic $NQ$-manifolds. Using Weinstein's Lagrangian tubular neighbourhood Theorem, we attach to every Lagrangian $NQ$-submanifold an $L_\infty$-algebra, which controls its deformation theory. The main examples are coisotropic submanifolds of Poisson manifolds and (higher) Dirac structures with support in (higher) Courant algebroids.

研究动机与目标

• 在 $\natsym$-graded symplectic $Q$-manifolds 中为 Lagrangian $Q$-submanifolds 建立严格的形变理论。
• 将经典定理——Darboux 定理与 Weinstein 柔性邻域定理——推广至 graded 设置。
• 构造一个控制此类子流形形式形变问题的 $L_{\infty}$-代数。
• 证明 $L_{\infty}$-代数在柔性邻域选择下至同构是不变的。
• 在形变模空间中为规范等价关系提供几何解释。

提出的方法

• 证明一个 graded 版本的 Darboux 定理，以在 Lagrangian $Q$-submanifold 附近局部刻画 $\natsym$-graded $Q$-manifold 的辛结构。
• 建立 Weinstein 柔性邻域定理的 graded 版本，表明 Lagrangian $Q$-submanifold 的一个邻域 $Q$-辛同胚于在平移余切丛中的模型邻域。
• 利用导子括号构造，从柔性邻域的法丛数据构造 $L_{\infty}$-代数。
• 使用 Voronov 的导子括号形式化方法，在法丛截面空间上定义 $L_{\infty}$-结构，其曲率由 $Q$-作用决定。
• 证明不同柔性邻域通过类似规范流诱导的 $L_{\infty}$-同构，产生同构的 $L_{\infty}$-代数。
• 几何地表征 Maurer-Cartan 元素上的规范作用为与法丛的零度截面相关的哈密顿向量场生成的流。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Weinstein 柔性邻域定理推广至 $\natsym$-graded symplectic $Q$-manifolds 设置？
• RQ2 在该 graded 上下文中，控制 Lagrangian $Q$-submanifolds 形变问题的 $L_{\infty}$-代数结构是什么？
• RQ3 该 $L_{\infty}$-代数如何依赖于柔性邻域的选择？
• RQ4 在形变模空间中，规范等价关系的几何意义是什么？
• RQ5 经典几何结构——如余共变子流形与 Dirac 结构——如何作为 Lagrangian $Q$-submanifolds 的特例出现？

主要发现

• 证明了 Weinstein 柔性邻域定理的 graded 版本，表明每个 Lagrangian $Q$-submanifold 在平移余切丛 $T^*[1]\nu\to \nu$ 中都存在一个 $Q$-辛同胚邻域。
• 通过导子括号从 Lagrangian $Q$-submanifold 的法丛数据构造了 $L_{\infty}$-代数，该代数控制形式形变问题。
• 不同的柔性邻域产生同构的 $L_{\infty}$-代数，证明了形变理论在模型选择下的不变性。
• Maurer-Cartan 元素上的规范作用被几何地表征为与法丛零度截面相关的哈密顿向量场生成的流。
• 该构造恢复了已知的形变理论：泊松流形中的余共变子流形与 Courant 代数胚中的 Dirac 结构作为 Lagrangian $Q$-submanifolds 的特例。
• $L_{\infty}$-代数结构通过在 $V$-代数上使用导子括号构造，从一个弯曲的 $L_{\infty}$-代数导出，其曲率由 $Q$-作用决定。