[论文解读] Deformed Hermitian-Yang-Mills Equation on Compact Hermitian Manifolds

Chao-Ming Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 81被引用 4

一句话总结

本文在紧致Hermitian流形上建立了deformed Hermitian-Yang-Mills（dHYM）方程解的存在性及先验估计，将先前在Kähler情形下的结果推广至非Kähler设置。通过引入$C$-次解条件，并将最大值原理技术适配以处理非Kähler情形下的 torsion 项，作者在条件$\partial\bar{\partial}\omega = 0 = \partial\bar{\partial}(\omega^2)$下证明了$C^{2,\alpha}$估计与存在性定理，从而解决了Inoue和二级Kodaira曲面等特定非Kähler复曲面上的dHYM方程。

ABSTRACT

Let $(X, ω)$ be a compact connected Hermitian manifold of dimension $n$. We consider the Bott-Chern cohomology and let $[χ] \in H^{1,1}_{ ext{BC}}(X; \mathbb{R})$. We study the deformed Hermitian-Yang-Mills equation, which is the following nonlinear elliptic equation $\sum_{i} \arctan (λ_i) = h(x)$, where $λ_i$ are the eigenvalues of $χ$ with respect to $ω$.

研究动机与目标

• 将deformed Hermitian-Yang-Mills（dHYM）方程的存在性理论从Kähler情形推广至紧致Hermitian流形。
• 在$C$-次解条件下，为紧致Hermitian流形上dHYM方程的解建立先验$C^{2,\alpha}$估计。
• 在条件$\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$下，证明光滑解$\chi \in [\chi_0]$存在，满足dHYM方程$\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$。
• 通过构造显式的$C$-次解，验证特定非Kähler复曲面（包括Inoue曲面与二级Kodaira曲面）上dHYM方程的可解性。

提出的方法

• 本文采用Székelyhidi与Guan引入的$C$-次解条件，以控制非线性椭圆方程$\sum_{i=1}^n \arctan(\lambda_i) = h(x)$的行为，其中$\lambda_i$为$\chi$关于$\omega$的特征值。
• 通过最大值原理推导先验$C^{2,\alpha}$估计，对由Hermitian度量引起的torsion项进行细致处理，这些项在Kähler情形下不存在。
• 通过对自伴算子$\Lambda = \omega^{-1}\chi$的特征值进行扰动并利用对称函数分析，将最大值原理应用于$C^2$估计。
• 在条件$\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$下建立存在性定理，该条件将pluriclosed条件推广至更高阶幂次。
• 通过左不变形式在Inoue曲面与二级Kodaira曲面上构造显式$C$-次解，并验证$\operatorname{Tr}_\omega(c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2) > 0$对$c > 0$成立，从而确保$C$-次解条件满足。
• 论证依赖于Bott–Chern上同调类$[\chi_0] \in H^{1,1}_{\text{BC}}(X;\mathbb{R})$以及相位条件$h(x) \in [(n-2)\frac{\pi}{2} + \epsilon_0, n\frac{\pi}{2})$，以确保方程为椭圆且可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非Kähler的紧致Hermitian流形上求解deformed Hermitian-Yang-Mills方程？
• RQ2 Hermitian度量$\omega$需满足何种几何条件，dHYM方程才存在解？
• RQ3 $C$-次解条件是否足以在非Kähler Hermitian设置下建立$C^{2,\alpha}$先验估计？
• RQ4 能否在特定非Kähler复曲面（如Inoue曲面与二级Kodaira曲面）上求解dHYM方程？
• RQ5 当$\partial\bar{\partial}\omega = 0$时，相位条件$\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$是否与解的存在性相容？

主要发现

• 本文在$C$-次解条件下，证明了紧致Hermitian流形上dHYM方程解的$C^{2,\alpha}$先验估计，常数依赖于$X$、$\omega$、$\alpha$、$\epsilon_0$、$h$、$\chi_0$以及次解$\underline{u}$。
• 在满足$\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$的紧致Hermitian流形上，若存在$C$-次解且满足$\Theta_\omega(\underline{\chi}) > (n-2)\frac{\pi}{2}$，则dHYM方程的存在性定理得以建立。
• 对于类型$\mathcal{S}_M$的Inoue曲面，本文表明对$c > 0$，有$c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2$是$C$-次解，因为$\operatorname{Tr}_\omega(c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2) > 0$。
• 在$H^{1,1}_{\text{BC}}(X;\mathbb{R})$为一维且$C$-次解条件满足的Inoue曲面$\mathcal{S}_M$与二级Kodaira曲面上，解的存在性已确认。
• dHYM方程的解$\chi$满足$\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$，该相位通过积分$\int_X (\omega + \sqrt{-1}\chi)^n$的辐角定义，确保相位一致性。
• 该结果将Collins–Jacob–Yau [11] 的Kähler情形推广至非Kähler Hermitian流形，在自然的几何与分析条件下，首次在该类空间上建立了dHYM方程的存在性结果。