[论文解读] Euclidean and Hermitian LCD MDS codes

Claude Carlet, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文完全解决了当 $q > 3$ 时 $q$-元欧几里得 LCD 最大距离可分（MDS）码的存在性问题，证明了对于所有 $0 \leq k \leq n \leq q+1$，以及当 $q = 2^m$ 时 $n = q+2$ 且 $k = 3$ 或 $q-1$ 的情况，此类码均存在。此外，通过广义 Reed-Solomon 码、自正交码和结构化生成矩阵，本文构造了新的酉 LCD MDS 码，建立了在特定 $k$ 和 $q$ 条件下 $[2k,k]$、$[2k+1,k]$ 和 $[2k+2,k]$ 码的存在性。主要贡献在于对 $q$-元欧几里得 LCD MDS 码的完整刻画，以及对酉 LCD MDS 码的新构造方法。

ABSTRACT

Linear codes with complementary duals (abbreviated LCD) are linear codes whose intersection with their dual is trivial. When they are binary, they play an important role in armoring implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. Non-binary LCD codes in characteristic 2 can be transformed into binary LCD codes by expansion. On the other hand, being optimal codes, maximum distance separable codes (abbreviated MDS) have been of much interest from many researchers due to their theoretical significant and practical implications. However, little work has been done on LCD MDS codes. In particular, determining the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes for various lengths $n$ and dimensions $k$ is a basic and interesting problem. In this paper, we firstly study the problem of the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes and completely solve it for the Euclidean case. More specifically, we show that for $q>3$ there exists a $q$-ary $[n,k]$ Euclidean LCD MDS code, where $0\le k \le n\le q+1$, or, $q=2^{m}$, $n=q+2$ and $k= 3 ext{or} q-1$. Secondly, we investigate several constructions of new Euclidean and Hermitian LCD MDS codes. Our main techniques in constructing Euclidean and Hermitian LCD MDS codes use some linear codes with small dimension or codimension, self-orthogonal codes and generalized Reed-Solomon codes.

研究动机与目标

• 确定当 $q > 3$ 且 $0 \leq k \leq n \leq q+1$ 时，$q$-元欧几里得 LCD MDS 码的存在性，以及当 $q = 2^m$、$n = q+2$、$k = 3$ 或 $q-1$ 时的存在性。
• 利用单位根的性质和结构化生成矩阵，在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上构造新的酉 LCD MDS 码类。
• 对 $q$-元欧几里得 LCD MDS 码提供完整刻画，填补了最优 LCD 码文献中的关键空白。
• 通过结合广义 Reed-Solomon 码、自正交码以及低维或低余维线性码，扩展 LCD 码的理论。

提出的方法

• 通过广义 Reed-Solomon 码构造 $q$-元欧几里得 LCD MDS 码，并利用特征和与迹正交性分析其对偶交集。
• 使用形如 $G(\alpha) = [A_1 : \alpha A_\gamma]$ 的生成矩阵，其中 $A_1$ 和 $A_\gamma$ 是 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的范德蒙德矩阵，以确保酉内积非退化。
• 应用条件 $k \mid (q^2 - 1)$、$k \not\mid (q+1)$ 和 $k < q^2 - 1$，以确保矩阵 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 的非奇异。
• 通过证明当 $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$ 时对角线元素非零，来证明酉格拉姆矩阵 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 的非奇异。
• 通过添加标准基向量 $e_0$ 和 $e_{k-1}$ 扩展码，以构造 $[2k+1,k]$ 和 $[2k+2,k]$ 酉 LCD MDS 码。
• 利用 $\beta \overline{\beta} \neq -(1 - \gamma^{-(q+1)})k$ 对某个 $\beta \in \mathbb{F}_{q^2}^\times$ 成立的事实，确保扩展后的码保持 LCD 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 $n$ 和 $k$，当 $q > 3$ 时存在 $q$-元欧几里得 LCD MDS 码？
• RQ2 能否对 $n \leq q^2 + 1$ 的 $q^2$-元酉 LCD MDS 码的存在性进行完全刻画？
• RQ3 在哪些 $k$ 和 $q$ 条件下，$[2k,k]$、$[2k+1,k]$ 和 $[2k+2,k]$ 酉 LCD MDS 码在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上存在？
• RQ4 如何结合广义 Reed-Solomon 码与自正交码来构造新的 LCD MDS 码？
• RQ5 在给定代数约束下，酉内积矩阵 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 是否非奇异？

主要发现

• 当 $q > 3$ 时，对所有 $0 \leq k \leq n \leq q+1$，$q$-元 $[n,k]$ 欧几里得 LCD MDS 码均存在。
• 当 $q = 2^m$ 时，$q$-元 $[n,k]$ 欧几里得 LCD MDS 码在 $n = q+2$ 且 $k = 3$ 或 $k = q-1$ 时存在。
• 当 $q$ 为奇数时，若满足 $k \mid (q^2 - 1)$、$k \not\mid (q+1)$ 且 $k < q^2 - 1$，则在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上存在 $[2k,k]$、$[2k+1,k]$ 和 $[2k+2,k]$ 酉 LCD MDS 码。
• 当 $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$ 蕴含 $b(i,j) \neq 0$ 时，矩阵 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 非奇异，该条件在 $\gamma$ 和 $k$ 的给定条件下成立。
• 通过在 $[2k,k]$ 码的生成矩阵中追加标准基向量 $e_0$ 和 $e_{k-1}$，实现了 $[2k+1,k]$ 和 $[2k+2,k]$ 码的构造。
• 尚待解决的问题是：当 $q > 3$ 时，$q^2$-元酉 LCD MDS 码是否对所有 $0 \leq k \leq n \leq q^2 + 1$ 均存在。