[论文解读] Failure of the curvature-dimension condition in sub-Finsler manifolds

Mattia Magnabosco, Tommaso Rossi|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Advanced Differential Geometry ResearchPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文证明了在子芬希尔流形中，即使在光滑、强严格凸的范数下，且在 $ C^{1,1} $-正则的海森堡群中，曲率-维数条件 $\mathsf{CD}(K,N)$ 也失效。通过改编朱利叶特的方法并引入新颖的几何工具，作者证明了测地线上的体积收缩违反了所需的凸性，并进一步表明在奇异范数下，更弱的 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件也失效——凸显了这些合成曲率界与子芬希尔几何之间存在根本性不相容性。

ABSTRACT

The Lott-Sturm-Villani curvature-dimension condition $\mathsf{CD}(K,N)$ provides a synthetic notion for a metric measure space to have curvature bounded from below by $K$ and dimension bounded from above by $N$. It has been recently proved that this condition does not hold in sub-Riemannian geometry for every choice of the parameters $K$ and $N$. In this paper, we extend this result to the context sub-Finsler geometry, showing that the $\mathsf{CD}(K,N)$ condition is not well-suited to characterize curvature in this setting. Firstly, we show that this condition fails in (strict) sub-Finsler manifolds equipped with a smooth strongly convex norm and with a positive smooth measure. Secondly, we focus on the sub-Finsler Heisenberg group, proving that curvature-dimension bounds can not hold also when the reference norm is less regular, in particular when it is of class $C^{1,1}$. The strategy for proving these results is a non-trivial adaptation of the work of Juillet [Rev. Mat. Iberoam., 37(1):177-188, 2021], and it requires the introduction of new tools and ideas of independent interest. Finally, we demonstrate the failure of the (weaker) measure contraction property $\mathsf{MCP}(K,N)$ in the sub-Finsler Heisenberg group, equipped with a singular strictly convex norm and with a positive smooth measure. This result contrasts with what happens in the \sr Heisenberg group, which instead satisfies $\mathsf{MCP}(0,5)$.

研究动机与目标

• 研究合成曲率-维数条件 $\mathsf{CD}(K,N)$ 是否在子芬希尔几何中成立，扩展已知的子黎曼情形下的失效结果。
• 确立即使在光滑、严格凸的子芬希尔流形中，且具有光滑测度，$\mathsf{CD}(K,N)$ 也失效。
• 分析在 $ C^{1,1} $-正则范数下的子芬希尔海森堡群中 $\mathsf{CD}(K,N)$ 的失效。
• 证明在海森堡群中，当范数为奇异且严格凸时，更弱的 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件也失效。
• 展示即使在唯一最小化子存在的情况下，测地线分支仍可唯一发生，从而挑战经典直觉。

提出的方法

• 改编朱利叶特的方法，构造一族包含异常子段的测地线，以破坏 $\mathsf{CD}(K,N)$。
• 构造一个初始条件集合 $\mathscr{A}$，其生成的测地线在小 $ t $ 时保持在 $ z=0 $ 平面内，从而破坏体积收缩估计。
• 利用凸三角学和对偶范数 $\Omega^\circ$ 分析海森堡群中测地线的行为。
• 分析指数映射和端点映射，以刻画极值曲线及其正则性。
• 引入一个新的几何不等式，涉及凹的 $ C^1 $ 函数，以证明面积与长度平方之比的严格单调性，这对导出矛盾至关重要。
• 应用布伦-闵可夫斯基不等式 $\mathsf{BM}(K,N)$，通过 $ t $-中点集合 $ M_t(A,B) $ 的测度导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在配备光滑、强严格凸范数和正光滑测度的光滑子芬希尔流形中，$\mathsf{CD}(K,N)$ 条件是否成立？
• RQ2 当范数仅为 $ C^{1,1} $-正则时，$\mathsf{CD}(K,N)$ 是否可能在子芬希尔海森堡群中成立？
• RQ3 在奇异且严格凸范数下，$\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件是否在子芬希尔海森堡群中成立？
• RQ4 对偶范数 $\Omega^\circ$ 的几何特性在曲率界失效中起什么作用？
• RQ5 在子芬希尔几何中，唯一测地线是否可能发生分支？这对合成曲率条件意味着什么？

主要发现

• 在所有光滑、严格凸的子芬希尔流形中，只要具有正光滑测度，$\mathsf{CD}(K,N)$ 条件均失效，无论 $ K $ 和 $ N $ 取值如何。
• 在 $ C^{1,1} $-正则范数下的子芬希尔海森堡群中，由于测地线上的体积收缩估计被违反，$\mathsf{CD}(K,N)$ 条件失效。
• 当范数为奇异且严格凸时，$\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件在子芬希尔海森堡群中也失效，这与子黎曼情形下 $\mathsf{MCP}(0,5)$ 成立形成鲜明对比。
• 存在一族测地线，在小 $ t $ 时保持在平面 $\{y=0,z=0\}$ 内，破坏了预期的体积增长，与 $\mathsf{CD}(K,N)$ 不等式矛盾。
• 在奇异子芬希尔海森堡群中，即使每条测地线本身唯一，仍可发生唯一分支的测地线，挑战了经典预期。
• 证明了一个新的几何不等式：对于 $ C^1 $ 凹函数 $ f $，比值 $ a(s)/d(s)^2 $ 严格递减，这是证明中导出矛盾的关键。