[论文解读] Generalised probabilistic theories and conic extensions of polytopes

Samuel Fiorini, Serge Massar+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 44被引用 7

一句话总结

本文建立了广义概率理论（GPTs）与多面体的锥型扩展之间的深刻联系，表明基于完全正锥的GPT通信复杂度对于具有多项式可识别顶点的0/1多面体，其通信复杂度远低于经典通信复杂度。研究证明，此类多面体具有小的锥型扩展，从而揭示了经典与基于GPT的通信复杂度之间存在指数级差距，并提出了一套新的几何框架，将量子基础理论与组合优化问题联系起来。

ABSTRACT

Generalized probabilistic theories (GPT) provide a general framework that includes classical and quantum theories. It is described by a cone $C$ and its dual $C^*$. We show that whether some one-way communication complexity problems can be solved within a GPT is equivalent to the recently introduced cone factorisation of the corresponding communication matrix $M$. We also prove an analogue of Holevo's theorem: when the cone $C$ is contained in $\mathbb{R}^{n}$, the classical capacity of the channel realised by sending GPT states and measuring them is bounded by $\log n$. Polytopes and optimising functions over polytopes arise in many areas of discrete mathematics. A conic extension of a polytope is the intersection of a cone $C$ with an affine subspace whose projection onto the original space yields the desired polytope. Extensions of polytopes can sometimes be much simpler geometric objects than the polytope itself. The existence of a conic extension of a polytope is equivalent to that of a cone factorisation of the slack matrix of the polytope, on the same cone. We show that all $0/1$ polytopes whose vertices can be recognized by a polynomial size circuit, which includes as a special case the travelling salesman polytope and many other polytopes from combinatorial optimisation, have small conic extension complexity when the cone is the completely positive cone. Using recent exponential lower bounds on the linear extension complexity of polytopes, this provides an exponential gap between the communication complexity of GPT based on the completely positive cone and classical communication complexity, and a conjectured exponential gap with quantum communication complexity. Our work thus relates the communication complexity of generalisations of quantum theory to questions of mainstream interest in the area of combinatorial optimisation.

研究动机与目标

• 建立广义概率理论（GPTs）的通信复杂度与通信矩阵的锥型因子分解之间的对应关系。
• 研究0/1多面体的扩展复杂度，特别是组合优化中出现的多面体（如TSP多面体）的扩展复杂度。
• 证明多项式可定义的0/1多面体在完全正锥上具有小的锥型扩展。
• 揭示当锥为完全正锥时，经典通信复杂度与基于GPT的通信复杂度之间存在指数级差距。
• 通过锥型扩展与通信复杂度的视角，将量子基础中的基础性问题与组合优化中的核心问题联系起来。

提出的方法

• 本文利用通信矩阵的锥型因子分解来刻画GPT是否能够解决给定的一方通信复杂度问题。
• 引入多面体的锥型扩展概念，即锥C与仿射子空间的交集，其投影可得到原始多面体。
• 证明多面体存在锥型扩展，当且仅当其松弛矩阵在相同锥上存在锥型因子分解。
• 应用0/1多面体的电路表示法，证明任何其顶点可由多项式大小电路识别的多面体，均在完全正锥上具有小的锥型扩展。
• 利用已知的线性扩展复杂度的指数下界，建立当锥为完全正锥时，经典通信复杂度与基于GPT的通信复杂度之间的指数级差距。
• 使用相关多面体COR(n)作为通用提升空间，构造有效超平面，将任意多项式可定义的0/1多面体嵌入为COR(n)的一个面的投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 GPT的通信复杂度能否通过其对应通信矩阵的锥型因子分解的存在性来刻画？
• RQ2 其顶点可由多项式大小电路识别的0/1多面体的锥型扩展复杂度是多少？
• RQ3 完全正锥是否能为关键的组合优化多面体（如TSP多面体）提供指数级更小的锥型扩展？
• RQ4 经典通信与基于完全正锥的GPT之间的通信复杂度差距是多少？
• RQ5 多面体的锥型扩展如何与广义概率理论的基础结构相关联？

主要发现

• GPT的通信复杂度等价于其对应通信矩阵M的锥型因子分解的存在性。
• 当锥C包含于R^n时，通过发送GPT态并测量所实现的信道的经典容量受log n限制，这提供了Holevo定理的广义版本。
• 所有其顶点可由多项式大小电路识别的0/1多面体，其在完全正锥上的锥型扩展复杂度均较小。
• 基于已知的线性扩展复杂度的指数下界，当锥为完全正锥时，这导致经典通信复杂度与基于GPT的通信复杂度之间存在指数级差距。
• 该结果意味着，尽管TSP等组合优化问题具有较大的线性扩展复杂度，但它们仍可表示为在完全正锥上的小锥型规划问题。
• 本文建立了一个结论：任意多项式可定义的0/1多面体，都是维度d与电路大小p(d)之和不超过n的关联多面体COR(n)的一个面的投影，其中n ≤ d + p(d)。