[论文解读] Hodge-Iwasawa Theory I

Xin T. Tong|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文引入霍奇-伊瓦萨瓦理论，作为相对 $p$-进霍奇理论与非交换伊瓦萨瓦理论的统一推广，为研究 $p$-进表示、平展局部系统及族中的伊瓦萨瓦上同调提供了统一框架。它在 ind-弗雷歇代数和方案化的相对法尔格斯-丰田曲线之上构造了形变周期环与层，建立了一个沃尔德豪森 $K$-理论框架，其中上同调函子在 $K$-理论上诱导出一个零同伦映射，从而为 $\epsilon$-同构猜想提供了新的视角。

ABSTRACT

In this paper, we are going to establish a simultaneous generalization of the relative Iwasawa theory proposed by Kedlaya-Pottharst and the relative $p$-adic Hodge theory after Kedlaya-Liu. We call this Hodge-Iwasawa theory in the sense that one could apply the theory to study noncommutative Iwasawa cohomology and noncommutative Iwasawa theories in families and meanwhile one could apply the theory to study the deformation theory of étale local systems or families of representations of fundamental groups or the equivariant constructible $p$-adic sheaves, with more sophisticated point of view coming from Kato, Fukaya-Kato. We follow closely the approach of Kedlaya-Liu to study the corresponding modules and sheaves over the corresponding deformed version of the period rings and period sheaves.

研究动机与目标

• 在统一框架中同时推广相对 $p$-进霍奇理论与非交换伊瓦萨瓦理论。
• 将 $p$-进表示与平展局部系统的研究所推广至形变周期环上的族。
• 利用沃尔德豪森范畴，为非交换、等变 $p$-进层发展出上同调与 $K$-理论框架。
• 通过霍奇-伊瓦萨瓦模，将高阶同伦与几何设定下的玉置-伊瓦萨瓦理论进行推广。
• 在 $p$-进设定下，为 $\epsilon$-同构猜想提供几何与动机解释。

提出的方法

• 在 ind-弗雷歇代数与形变的方案化相对法尔格斯-丰田曲线之上，构造霍奇-伊瓦萨瓦层与向量丛。
• 将 Kedlaya-Liu 的方法应用于形变周期环与层，推广了伊瓦萨瓦情境下的 $\widetilde{\Pi}_{L,A}$-模。
• 利用弗雷歇-斯坦与相对法尔格斯-丰田曲线的刚性解析形变，建模 $p$-进表示的族。
• 定义一个沃尔德豪森正合函子 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$，从 $X_\sharp$ 上的完美复形到完美 $T$-模。
• 应用 [KL] 中的有限性与上同调维数结果，证明诱导的 $K$-理论映射同伦于零。
• 通过商掉雅各布森根的有限商 $T/I$ 与半单约化，将问题约化至有限域。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一致框架中同时推广相对 $p$-进霍奇理论与非交换伊瓦萨瓦理论？
• RQ2 形变周期环与层在建模 $p$-进表示与平展局部系统的族中起什么作用？
• RQ3 在 $p$-进设定下，沃尔德豪森 $K$-理论与 $\epsilon$-同构猜想如何作用于构造性层？
• RQ4 上同调函子 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ 是否在 $p$-进背景下诱导出 $K$-理论上的零同伦映射？
• RQ5 对霍奇-伊瓦萨瓦模，玉置-伊瓦萨瓦理论的高阶同伦与几何解释是什么？

主要发现

• 在 $\mathrm{Spa}(\mathbb{Q}_p, \mathfrak{o}_{\mathbb{Q}_p})$ 上，由上同调函子 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ 诱导的沃尔德豪森 $K$-理论映射同伦于零映射。
• 该零同伦结果对系数在环 $T$ 上的形变刚性空间 $X_\sharp$ 上的完美复形范畴 $\mathbb{D}_{\mathrm{perf}}(X_\sharp, T)$ 成立。
• 证明依赖于 [KL, 8.1, 10.1] 中在 $\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}}$ 上的 $p$-进设定下的有限性与上同调维数定理。
• 通过商掉有限商 $T/I$ 的雅各布森根，实现向有限域的约化，从而可利用半单与有限域情形。
• 该框架将 $\epsilon$-同构猜想推广至 $p$-进设定，扩展了 [FK]、[F]、[BB]、[LZ] 与 [Nak3] 的结果。
• 该理论通过霍奇-伊瓦萨瓦模，为非交换伊瓦萨瓦上同调与构造性 $p$-进层提供了新的几何与动机视角。