[论文解读] Instantons and framed sheaves on Kähler Deligne-Mumford stacks

Philippe Eyssidieux, Francesco Sala|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文通过证明在 $A_{k-1}$ 型 ALE 空间之轨道丛紧化上的全纯向量丛与具有平坦单位酉联络的丛，与在非紧 ALE 空间上具有平方可积曲率及指定无穷远处单值的 Hermite-Einstein 向量丛之间的一一对应，建立了 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 对应关系的堆栈推广。该框架通过轨道丛紧化与堆栈上的微分几何，将规范理论结果推广至凯勒 Deligne-Mumford 堆栈。

ABSTRACT

We provide stacky generalizations of classical gauge-theoretic results inspired by Donaldson, the Uhlenbeck-Yau theorem and variants due to Bando and his collaborators. Moreover, we show an application of this machinery in the study of ALE spaces.

研究动机与目标

• 将经典规范理论结果（如 Uhlenbeck-Yau 定理与 Bando 定理）推广至凯勒 Deligne-Mumford 堆栈的设定。
• 解决在 $A_{k-1}$ 型 ALE 空间上应用 Donaldson 对应关系时的障碍，因无穷远处基本群非平凡，标准光滑紧化方法失效。
• 构造 $A_{k-1}$ 奇点 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$ 的最小解析紧化 $X_k$ 的轨道丛紧化 $\mathscr{X}_k$，以实现推广的对应关系。
• 在 $\mathscr{X}_k$ 上的全纯向量丛（沿紧化除子 $\mathscr{D}_\infty$ 具有平坦单位酉联络）与 $X_k$ 上具有平方可积曲率及匹配无穷远处单值的 Hermite-Einstein 向量丛之间建立一一对应。

提出的方法

• 将微分几何推广至光滑 Deligne-Mumford 解析与可微堆栈，定义堆栈设定下的 Hermite-Einstein 度量。
• 利用 $X_k = \widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 的轨道丛紧化 $\mathscr{X}_k$ 作为全局商堆栈 $[\mathbb{C}^2 \setminus \{0\} / (\mathbb{C}^* \times \mu_k)]$，其中 $\mathscr{D}_\infty$ 为光滑有效 Cartier 除子。
• 应用堆栈上正线丛的理论，通过特征表示证明 $\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$ 在 $\mathscr{D}_\infty$ 上为正且 ample。
• 利用同伦正合列与基本群计算，证明 $\pi_1(\mathscr{D}_\infty^{\text{top}}) \simeq \mathbb{Z}_k$，从而实现一致的单值数据编码。
• 利用堆栈 Uhlenbeck-Yau 定理，将 $X_k$ 上 Hermite-Einstein 度量与 $\mathscr{X}_k$ 上的多项稳定丛联系起来，曲率可积性为关键条件。
• 通过丛的拉回与延拓建立对应关系，确保无穷远处单值与 $\mathscr{D}_\infty$ 上平坦单位酉联络一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典 Donaldson 对应关系（即时解与带框架向量丛之间的一一对应）推广至非单连通的非紧 4-流形（如 $A_{k-1}$ 型 ALE 空间）？
• RQ2 在凯勒 Deligne-Mumford 堆栈上推广 Hermite-Einstein 与 Uhlenbeck-Yau 型定理的合适堆栈理论框架为何？
• RQ3 如何构造一个在无穷远处基本群非平凡的 ALE 空间的紧化，以保持规范理论对应关系？
• RQ4 紧化除子 $\mathscr{D}_\infty$ 的轨道丛结构在连接紧化侧与非紧侧的单值数据中起何作用？
• RQ5 在非紧 ALE 空间上，Hermite-Einstein 度量在何种条件下可提升为在轨道丛紧化上具有沿除子平坦联络的全纯丛？

主要发现

• 在轨道丛紧化 $\mathscr{X}_k$ 上的全纯向量丛（与固定丛 $\mathcal{F}_\infty$ 同构，且沿 $\mathscr{D}_\infty$ 具有平坦单位酉联络 $\nabla$）与 $X_k$ 上具有平方可积曲率及匹配 $\nabla$ 的无穷远处单值的 Hermite-Einstein 向量丛之间存在一一对应。
• $\mathscr{X}_k$ 是一个具有光滑有效 Cartier 除子 $\mathscr{D}_\infty$ 的射影塔米克 Deligne-Mumford 堆栈，且 $\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$ 在 $\mathscr{D}_\infty$ 上为正且 ample。
• $\mathscr{D}_\infty$ 的拓扑实现的基本群为 $\pi_1(\mathscr{D}_\infty^{\text{top}}) \simeq \mathbb{Z}_k$，使得非平凡单值数据可被一致编码。
• 线丛 $\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$ 在 $\mathscr{D}_\infty$ 上为正，因其与 $\mathbb{C}^* \times \mu_k$ 上的投影特征相关，且其 $\tilde{k}k$ 次张量幂同构于射影紧化上正线丛的拉回。
• 该对应关系通过允许紧化除子上非平凡单值（而不仅平凡单值）推广了 Bando 的结果，突破了 $k=2$ 的限制。
• $X_k$ 上 Hermite-Einstein 度量的曲率为平方可积：$\int_{\mathscr{X}_k} |\Theta(\mathcal{E}', h')|^2 < +\infty$，这是对应关系成立的关键条件。