[论文解读] Mathematical modelling of the cardiovascular system

Alfio Quarteroni|ArXiv.org|May 1, 2003

Elasticity and Material ModelingEngineering参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文提出了一套数学框架，用于基于任意拉格朗日-欧拉（ALE）形式的纳维-斯托克斯方程，模拟大中型动脉中的血流。该框架采用基于单体化、分区迭代算法的流固耦合方法，并提出一种多尺度建模方法，整合三维、一维和集中参数模型，以实现对整个循环系统的更精确且计算高效的模拟。

ABSTRACT

In this paper we will address the problem of developing mathematical models for the numerical simulation of the human circulatory system. In particular, we will focus our attention on the problem of haemodynamics in large human arteries.

研究动机与目标

• 开发一个稳健的数学与数值框架，用于模拟顺应性大动脉中的血流，同时考虑动态血管壁运动。
• 通过任意拉格朗日-欧拉（ALE）格式解决移动域中流固耦合问题，实现精确的域映射。
• 通过将详细的三维模型与简化的循环系统模型耦合，实现对血流分离、剪切应力及术后结果等临床相关血流动力学现象的模拟。
• 建立一种分层多尺度建模策略，整合三维流固耦合、一维双曲系统和集中参数模型，实现全循环系统模拟。
• 通过采用强隐式、迭代分区算法，结合子迭代与通过调和延拓实现的网格变形，确保耦合模拟中的数值稳定性和准确性。

提出的方法

• 在 ALE 框架下表述纳维-斯托克斯方程，以处理具有移动边界的时变流体域，特别是顺应性血管壁。
• 采用单体化方法将不可压缩纳维-斯托克斯方程与血管壁的结构模型耦合，同时求解壁面位移与速度以及流体速度与压力。
• 采用分区迭代算法并引入子迭代，以在流体与结构界面处保持运动学与动力学一致性，通过外推的壁面运动与速度更新 ALE 映射。
• 应用调和延拓计算 ALE 映射，从壁面位移出发，确保流体域内网格变形平滑，避免过度扭曲。
• 将三维流固耦合模型与一维简化模型（双曲守恒律）及集中参数模型（类比于电路的常微分方程系统）集成，实现对整个循环系统的全局表征。
• 基于位移与速度在迭代间差异的 L2 范数实施收敛性检查，并引入欠松弛策略以稳定迭代过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当血管壁在脉动血流作用下发生形变时，如何准确建模大动脉中的流固耦合问题？
• RQ2 在移动域中，将纳维-斯托克斯方程与结构力学模型耦合时，最稳定且准确的数值策略是什么？
• RQ3 如何利用多尺度建模技术模拟整个循环系统，同时在感兴趣区域保持局部血流动力学的准确性？
• RQ4 耦合算法的选择（如分区式与单体式）在流固耦合模拟的稳定性与收敛性中起什么作用？
• RQ5 如何通过数值模拟定量评估狭窄等病理状态对血流动态的影响？

主要发现

• ALE 格式能够实现对时变域中血流的精确且稳定的模拟，尤其在血管壁发生高达 10% 径向变形时表现优异。
• 采用欠松弛的分区迭代算法可确保收敛性与稳定性，且必须在离散层面实现强耦合，以防止数值不稳定性。
• 使用调和延拓进行网格变形可保持网格质量，即使在长时间模拟中也能避免过度扭曲。
• 所提出的多尺度框架成功将三维流固耦合模型与一维及集中参数模型耦合，实现了计算成本更低的全循环系统模拟。
• 该方法可实现临床相关的模拟，例如冠状动脉旁路血流动力学，能够捕捉几何结构对血流模式与壁面剪切应力的影响。
• 由于在每个子迭代中需重复求解流体、结构与网格变形问题，该算法计算成本较高，但在复杂血流动力学场景中为保证稳定性所必需。