[论文解读] The Hypotheses on Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity and Their Partial Proof

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 23

一句话总结

本文提出了一类用于任意阶次的重复伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分的新型展开式，基于广义多重傅里叶级数，其在 $L_2$ 范数下收敛。所提出的展开式仅涉及一次极限过程，因此相较于相应的伊藤积分展开式显著更简单，且在数值求解伊藤随机微分方程方面极具适用性。

ABSTRACT

In this review article we collected more than ten theorems on expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals, which have been formulated and proved by the author. These theorems open a new direction for study of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The expansions based on multiple and iterated Fourier-Legendre series as well as on multiple and iterated trigonomectic Fourier series converging in the mean and pointwise are presented in the article. Some of these theorems are connected with the iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. Also we consider two theorems on expansions of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k)$ as well as two theorems on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized iterated Fourier series converging pointwise. On the base of the presented theorems we formulate 3 hypotheses on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k).$ The mentioned iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion. Moreover, the considered expansions from these 3 hypotheses contain only one operation of the limit transition and substantially simpler than their analogues for iterated Ito stochastic integrals. Therefore, the results of the article can be useful for the numerical integration of Ito stochastic differential equations. Also, the results of the article were reformulated in the form of theorems of the Wong-Zakai type for iterated Stratonovich stochastic integrals.

研究动机与目标

• 开发适用于任意阶次的重复斯特拉托诺维奇随机积分的高效且数值可处理的展开式。
• 通过最小化所需极限过程的次数，降低现有展开式的复杂度。
• 为基于斯特拉托诺维奇微积分的随机微分方程数值方法建立理论基础。
• 提出关于斯特拉托诺维奇积分广义多重傅里叶级数展开式的假设，其在 $L_2$ 范数下收敛。
• 将结果推广至重复斯特拉托诺维奇积分的沃尔格-扎卡伊型定理。

提出的方法

• 在 $L_2([t, T]^k)$ 中使用广义多重傅里叶级数，表示任意阶次 $k$ 的重复斯特拉托诺维奇随机积分。
• 应用广义重复傅里叶级数，实现斯特拉托诺维奇积分的逐点收敛。
• 采用多重及重复三角函数与勒让德多项式级数，实现均值收敛与逐点收敛。
• 基于希尔伯特空间 $L_2([t, T]^k)$ 中的正交展开推导展开式，确保范数收敛。
• 提出关于斯特拉托诺维奇积分广义多重傅里叶级数收敛性的三个假设。
• 以沃尔格-扎卡伊型定理的形式重新表述结果，将近似与随机过程的弱收敛联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用广义多重傅里叶级数对任意阶次的重复斯特拉托诺维奇随机积分进行展开，使其在 $L_2$ 范数下收敛？
• RQ2 如何最小化此类展开式中极限过程的次数，以提升数值效率？
• RQ3 所提出的斯特拉托诺维奇展开式与现有伊藤积分展开式在复杂度方面有何关系？
• RQ4 所提出的展开式能否重新表述为关于随机过程的沃尔格-扎卡伊型定理？
• RQ5 广义重复傅里叶级数在逐点意义下对斯特拉托诺维奇积分的收敛性质是什么？

主要发现

• 本文提出了关于任意阶次 $k$ 的重复斯特拉托诺维奇随机积分广义多重傅里叶级数展开式的三个假设，其在 $L_2([t, T]^k)$ 范数下收敛。
• 所提出的展开式仅涉及一次极限过程，相较于相应的伊藤积分展开式，计算结构显著简化。
• 基于多重与重复傅里叶级数的展开式在均值与逐点意义下均收敛，提供了稳健的收敛性保证。
• 结果被重新表述为沃尔格-扎卡伊型定理，将近似与随机过程的弱收敛联系起来。
• 该方法适用于阶次为1至5的重复斯特拉托诺维奇积分，并可推广至任意 $k \in \mathbb{N}$，具有更广泛的应用潜力。
• 由于其简洁性与良好的收敛性质，该方法为伊藤随机微分方程的数值积分提供了极具前景的路径。