[论文解读] Negative Imaginary Systems Theory in the Robust Control of Highly Resonant Flexible Structures

Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Piezoelectric Actuators and ControlEngineering参考文献 48被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于负虚（Negative Imaginary, NI）系统理论的鲁棒控制框架，用于高度共振的柔性结构，可保证在未建模动态和参数不确定性下的稳定性。核心贡献是一个稳定性定理，表明当直流环路增益小于1时，NI系统与严格NI（SNI）系统通过正反馈互连可实现内部稳定，从而为具有共置传感器与执行器的结构提供了鲁棒控制器综合方法。

ABSTRACT

This paper covers recent developments in the theory of negative imaginary systems and their application to the control of highly resonant flexible structures. The theory of negative imaginary systems arose out of a desire to unify a number of classical methods for the control of lightly damped structures with collocated force actuators and position sensors including positive position feedback and integral force feedback. The key result is a stability result which shows why these methods are guaranteed to yield robust closed loop stability in the face of unmodelled spillover dynamics. Related results to be presented connect the theory of negative imaginary systems to positive real systems theory and a negative imaginary lemma has been established which is analogous to the positive real lemma. The paper also presents recent controller synthesis results based on the theory of negative imaginary systems.

研究动机与目标

• 解决航空航天系统和纳米定位装置等高度共振柔性结构中的鲁棒振动控制挑战。
• 将正位置反馈和积分力反馈等经典控制方法统一于单一理论框架之下。
• 提供一种系统化的方法，用于分析与设计对模态溢出动态和参数不确定性具有鲁棒性的控制器。
• 建立负虚系统与正实系统理论之间的联系，以支持稳定性分析与控制器综合。
• 开发保持NI特性并确保闭环稳定的状态反馈与输出反馈控制器的综合技术。

提出的方法

• 通过频域条件定义负虚（NI）传递函数矩阵：在所有频率下，频率响应的厄米特-虚部为半负定。
• 建立类似于正实引理的负虚引理，支持基于线性矩阵不等式（LMI）的稳定性与控制器综合。
• 利用等价关系：传递函数 R(s) 为NI当且仅当 sR(s) 为正实，将NI系统与成熟的正实理论相联系。
• 提出控制器类，如正位置反馈、谐振及积分谐振控制器，均被证明为严格负虚（SNI）。
• 通过负虚引理开发基于LMI的状态反馈控制器综合方法，确保在未建模动态下的鲁棒稳定性。
• 将该框架应用于具有共置力执行器与位置传感器的MIMO系统，即使在存在不确定或未建模的模态溢出动态时也能保证稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正位置反馈和积分力反馈等经典控制方法统一于单一理论框架下？
• RQ2 在存在未建模动态和参数不确定性时，柔性结构的鲁棒稳定性由何种条件保证？
• RQ3 如何利用负虚特性推导NI系统正反馈互连的稳定性条件？
• RQ4 负虚系统与正实系统之间存在何种关系？该关系如何用于控制器设计？
• RQ5 如何将基于LMI的综合技术应用于设计NI系统的鲁棒状态反馈控制器？

主要发现

• 本文证明：当直流环路增益小于1时，负虚系统与严格负虚系统通过正反馈互连可实现内部稳定。
• 所有具有共置力执行器与位置传感器的柔性结构均具有负虚传递函数矩阵，从而为该类系统应用NI理论提供了理论依据。
• 正位置反馈控制器被证明为严格负虚（SNI），可确保对未建模动态和频率不确定性的鲁棒稳定性。
• 负虚引理为NI系统提供了LMI表征，支持通过凸优化实现系统化的控制器综合。
• 可通过LMI条件（定理10）合成状态反馈控制律，确保在直流增益有界且直流处不确定性为半正定时，对不确定NI系统的鲁棒稳定性。
• 形式为 $ C(s) = [sI + \Gamma\Phi]^{-1}\Gamma $ 的积分谐振控制器，当 $ \Gamma $ 和 $ \Phi $ 为正定时，被证明为SNI，从而可在柔性系统中实现鲁棒力控制。