[论文解读] New series for powers of $\pi$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文通过符号计算，利用广义中心三项式系数 $T_k(b,c)$ 推广中心二项式与三项式系数，提出了 97 个关于 $\pi$ 幂次的拉马努金型级数。其关键贡献是通过 $p$-进同余关系，首次对有理拉马努金型级数 $1/\pi$ 进行了新表征，从而推导出 117 个新的猜想级数，其中包括涉及类数为 8 的虚二次域的示例。

ABSTRACT

Via symbolic computation we deduce 97 new type series for powers of $\\pi$ related to Ramanujan-type series. Here are three typical examples: $$\\sum_{k=0}^\\infty \\frac{P(k) \\binom{2k}k\\binom{3k}k \\binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} =\\frac{18\ imes557403^3\\sqrt{10005}}{5\\pi}$$ with \\begin{align*}P(k) = &637379600041024803108 k^2 + 657229991696087780968 k \\\\&+ 19850391655004126179, \\end{align*} $$\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{(3k+1)16^k}{(2k+1)^2k^3\\binom{2k}k^3} = \\frac{\\pi^2-8}2,$$ and $$\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{3n+1}{(-100)^n} \\sum_{k=0}^n{n\\choose k}^2T_k(1,25)T_{n-k}(1,25) = \\frac{25}{8\\pi},$$ where the generalized central trinomial coefficient $T_k(b,c)$ denotes the coefficient of $x^k$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^k$. We also formulate a general characterization of rational Ramanujan-type series for $1/\\pi$ via congruences, and pose 117 new conjectural series for powers of $\\pi$ via looking for corresponding congruences. For example, we conjecture that $$\\sum_{k=0}^\\infty\\frac{39480k+7321}{(-29700)^k}T_k(14,1)T_k(11,-11)^2=\\frac{6795\\sqrt5}{\\pi}.$$ Eighteen of the new series in this paper involve some imaginary quadratic fields with class number $8$.

研究动机与目标

• 通过广义中心三项式系数 $T_k(b,c)$ 推导关于 $\pi$ 幂次的新拉马努金型级数。
• 通过 $p$-进同余关系，建立有理拉马努金型级数 $1/\pi$ 的一般表征。
• 通过识别相应的 $p$-进同余关系，提出 117 个关于 $\pi$ 幂次的新猜想级数。
• 探索拉马努金型级数、二项式系数与二次型之间的联系。
• 将先前关于拉马努金型级数的 $p$-进类比工作扩展至广义三项式系数与新型级数类型。

提出的方法

• 使用符号计算推导如下形式的新级数：$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$，其中 $P(k)$ 为二次多项式。
• 将广义中心三项式系数 $T_k(b,c)$ 定义为 $(x^2 + bx + c)^k$ 展开式中 $x^k$ 的系数，从而推广中心二项式与三项式系数。
• 利用形如 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{bk+c}{m^k} a(k) \equiv cp \left(\frac{\varepsilon_d d}{p}\right) \pmod{p^3}$ 的 $p$-进同余关系，表征有理拉马努金型级数。
• 应用拉普拉斯-海涅渐近公式及勒让德多项式性质，分析 $T_k(b,c)$ 的增长与行为。
• 利用递推关系 $ (n+1)T_{n+1}(b,c) = (2n+1)bT_n(b,c) - n(b^2 - 4c)T_{n-1}(b,c) $ 高效计算 $T_k(b,c)$。
• 基于观测到的 $p$-进模式提出猜想，例如 $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) \pmod{p^2}$，并将其与无穷级数恒等式关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义中心三项式系数 $T_k(b,c)$ 系统地推导出关于 $\pi$ 幂次的新拉马努金型级数？
• RQ2 表征有理拉马努金型级数 $1/\pi$ 的一般 $p$-进同余结构是什么？
• RQ3 如何利用符号计算生成并验证关于 $\pi$ 及其幂次的新级数？
• RQ4 拉马努金型级数与虚二次域之间存在何种联系，特别是类数为 8 的虚二次域？
• RQ5 能否为某些涉及 $T_k(b,c)$ 的无穷级数（如 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}}$）建立精确闭式？

主要发现

• 本文推导出 97 个关于 $\pi$ 幂次的新拉马努金型级数，其中包括 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$，其中 $P(k)$ 为二次多项式。
• 新级数中的 18 个涉及类数为 8 的虚二次域，将其与深层算术性质相联系。
• 本文提出了通过包含勒让德符号的 $p$-进同余关系，对有理拉马努金型级数 $1/\pi$ 的一般表征。
• 猜想 10.1 提出精确求值：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{5\pi}{\sqrt{3}} + 6\log 3$ 与 $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(5k-2)T_{k-1}}{(k-1)k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{21 - 2\sqrt{3}\pi - 9\log 3}{12}$。
• 猜想 10.2 提供了这些级数部分和模 $p^2$ 的 $p$-进同余关系，例如 $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) + \frac{p}{2}(13 - 35\left(\frac{p}{3}\right)) \pmod{p^2}$。
• 本文猜想 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8k+3}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2 T_k(3,-4) \equiv p(1 + 2\left(\frac{-1}{p}\right)) \pmod{p^2}$，与新的 $p$-进模式相关联。