[论文解读] On category $\mathcal{O}$ for affine Grassmannian slices and categorified tensor products

Joel Kamnitzer, Peter Tingley+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文建立了截断移位杨代数（affine Grassmannian slices 的量子化）的范畴 O 与一种新代数——奇偶 KLRW 代数的权模之间的等价性，该等价性 categorifies 了基本表示的张量积。关键结果确认了范畴 O 中最高权与依赖于参数的乘积单项晶格元素之间的典范双射，解决了长期存在的一个猜想，并实现了对 $\mathfrak{gl}_n$ 及其 W-代数的简单 Gelfand-Tsetlin 模的分类。

ABSTRACT

Truncated shifted Yangians are a family of algebras which naturally quantize slices in the affine Grassmannian. These algebras depend on a choice of two weights $λ$ and $μ$ for a Lie algebra $\mathfrak{g}$, which we will assume is simply-laced. In this paper, we relate the category $\mathcal{O}$ over truncated shifted Yangians to categorified tensor products: for a generic integral choice of parameters, category $\mathcal{O}$ is equivalent to a weight space in the categorification of a tensor product of fundamental representations defined by the third author using KLRW algebras. We also give a precise description of category $\mathcal{O}$ for arbitrary parameters using a new algebra which we call the parity KLRW algebra. In particular, we confirm the conjecture of the authors that the highest weights of category $\mathcal{O}$ are in canonical bijection with a product monomial crystal depending on the choice of parameters. This work also has interesting applications to classical representation theory. In particular, it allows us to give a classification of simple Gelfand-Tsetlin modules of $U(\mathfrak{gl}_n)$ and its associated W-algebras.

研究动机与目标

• 建立截断移位杨代数的范畴 O 与一种新代数——奇偶 KLRW 代数的权模之间的范畴等价性。
• 证实猜想：范畴 O 中的最高权与依赖于参数的乘积单项晶格元素之间存在典范双射。
• 利用该等价性，对 $\mathfrak{gl}_n$ 及其相关 W-代数的简单 Gelfand-Tsetlin 模提供分类。
• 证明在通用参数下，范畴 O 与 quiver 变量量子化上的最高权模范畴之间存在 Koszul 对偶，从而实现辛对偶性。

提出的方法

• 将奇偶 KLRW 代数引入为 KLRW 代数的子代数，保持范畴 $\mathfrak{g}$-作用。
• 利用 KLRW 代数的框架对基本表示的张量积进行 categorification，其中权空间对应于代数的分量。
• 通过 Morita 理论构造截断移位杨代数的范畴 O 与奇偶 KLRW 代数的幂零模范畴之间的等价性。
• 利用代数的二次对偶性，将杨代数的范畴 O 与 quiver 变量量子化上的模范畴联系起来。
• 应用典范基与晶格结构理论，解释 Gelfand-Tsetlin 模中权重重数的含义。
• 通过将参数集分解为 $\mathbb{C}/2\mathbb{Z}$ 的陪集，将模的分类问题约化为整数情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 截断移位杨代数的范畴 O 中的最高权如何与组合晶格相关联？
• RQ2 能否将 affine Grassmannian slices 的范畴 O 实现为一个 categorified 张量积？
• RQ3 截断移位杨代数在任意参数下的范畴 O 的精确结构是什么？
• RQ4 通过 KLRW 代数实现的 categorified 张量积结构如何与经典表示论（特别是 Gelfand-Tsetlin 模）相联系？
• RQ5 奇偶 KLRW 代数在实现 affine Grassmannian slices 与 quiver 变量之间对偶性中起什么作用？

主要发现

• 存在范畴 O 对于截断移位杨代数 $Y^\lambda_\mu(R)$ 与奇偶 KLRW 代数 $\widetilde{P}^\lambda_{\mu_S}$ 的幂零模范畴之间的典范等价。
• 在通用整数参数下，截断移位杨代数的范畴 O 与 quiver 变量 $M(\lambda, \mu)$ 的范畴 O 之间存在 Koszul 对偶，实现了辛对偶性。
• 范畴 O 中的最高权与 $\mathfrak{sl}^X_n$ 的乘积单项晶格 $B(\lambda) \otimes B(\infty)$ 的元素之间存在典范双射。
• $\mathfrak{gl}_n$ 及其 W-代数的简单 Gelfand-Tsetlin 模通过晶格 $B(g_1\omega_1) \otimes \cdots \otimes B(g_h\omega_1) \otimes B(\infty)$ 实现了分类。
• 对应于集合 $S$ 的 Gelfand-Tsetlin 模的权重重数，由项目类 $\widetilde{p}(S)$ 在 $U(\lambda)$ 中展开时对应典范基向量的系数给出。
• GT(\pi, R, S) 的结构是 $\mathbb{C}/2\mathbb{Z}$ 陪集对应的范畴的 Deligne 张量积，从而将分类问题约化为整数情形。