[论文解读] On the regularity problem of complex Monge-Ampere equations with conical singularities

Xiuxiong Chen, Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文建立了沿光滑除子的复 Monge-Ampère 方程弱解的最大正则性，证明了 $C^{1,1}$-正则解在奇异极坐标下实际上是 Hölder 连续的。通过在锥形设定下建立一种新颖的 Calderón-Zygmund 理论，并结合弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量的 Liouville 型定理，作者证明了 Guenancia-Paun 和 Yao 构造的弱 Kähler-Einstein 度量实际上是具有 $C^{2,eta,eta}$ 正则性的强锥形 Kähler-Einstein 度量，其中 $0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$。该工作通过将弱解升级为强解，解决了锥形 Kähler 几何中的正则性问题。

ABSTRACT

In the category of metrics with conical singularities along a smooth divisor with angle in $(0, 2π)$, we show that locally defined weak solutions ($C^{1,1}-$solutions) to the Kähler-Einstein equations actually possess maximum regularity, which means the metrics are actually Hölder continuous in the singular polar coordinates. This shows the weak Kähler-Einstein metrics constructed by Guenancia-Paun \cite{GP}, and independently by Yao \cite{GT}, are all actually strong-conical Kähler-Einstein metrics. The key step is to establish a Liouville-type theorem for weak-conical Kähler-Ricci flat metrics defined over $\C^{n}$, which depends on a Calderon-Zygmund theory in the conical setting.

研究动机与目标

• 解决沿光滑除子的复 Monge-Ampère 方程弱解的正则性问题。
• 证明 $C^{1,1}$-正则的 Kähler-Einstein 方程弱解在奇异极坐标下实际上是 $C^{2,\alpha,\beta}$-正则的。
• 确立 Guenancia-Paun 和 Yao 构造的弱 Kähler-Einstein 度量实际上是强锥形 Kähler-Einstein 度量。
• 发展锥形 Calderón-Zygmund 理论，并证明弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量的 Liouville 型定理。

提出的方法

• 在具有奇异除子 $D$ 的 $\mathbb{C}^n$ 上，为弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量建立锥形 Calderón-Zygmund 不等式。
• 通过分析在锥形拉普拉斯算子下 $L^2$-有界次调和函数的行为，证明弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量的 Liouville 型定理。
• 利用具有 $L^p$-右端项的锥形 $W^{2,p}$ 和 $C^{1,\alpha,\beta}$ 估计，控制解在奇点附近的增长。
• 在紧致 Kähler 流形上应用锥形 Kähler-Ricci 流，通过 K-能量泛函的单调性构造强解。
• 通过在 $M \setminus D$ 上对线性化算子应用强极大值原理，证明 $C^{1,1,\beta}$ 解的唯一性，表明差值为常数。
• 利用屏障函数和 Guenancia-Paun 类型论证中的 $C^2$-估计，在锥形设定下控制度量的迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱 $C^{1,1,\beta}$ 解是否可被提升为 $C^{2,\alpha,\beta}$ 正则性？
• RQ2 锥形 Calderón-Zygmund 理论是否意味着弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量在 $\mathbb{C}^n$ 上存在 Liouville 型定理？
• RQ3 Guenancia-Paun 和 Yao 构造的弱 Kähler-Einstein 度量是否实际上是强锥形 Kähler-Einstein 度量？
• RQ4 锥形 Kähler-Ricci 流是否可用于从紧流形上的弱 $C^{1,1,\beta}$ 解构造 $C^{2,\alpha,\beta}$ 解？
• RQ5 在给定锥形角 $2\pi\beta$ 的前提下，$C^{2,\alpha,\beta}$ 正则性成立的 $\alpha$ 的精确范围是什么？

主要发现

• 任何满足复 Monge-Ampère 方程 $\det(\phi_{i\bar{j}}) = f / |z|^{2-2\beta}$ 且 $f > 0$、$f \in C^{1,1,\beta}$ 的 $C^{1,1,\beta}$ 解 $\phi$，都属于 $C^{2,\alpha,\beta}(\Omega)$，其中所有满足 $0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$ 的 $\alpha$。
• Guenancia-Paun 和 Yao 构造的弱 Kähler-Einstein 度量被提升为具有 $C^{2,\alpha,\beta}$ 正则性的强锥形 Kähler-Einstein 度量。
• 在 $\mathbb{C}^n$ 上，弱锥形 Kähler-Ricci 平坦度量存在 Liouville 型定理，即在锥形拉普拉斯算子下有界 $L^2$-次调和函数为常数。
• 建立了具有 $L^p$-右端项的锥形 Calderón-Zygmund 不等式，使得在锥形设定下可实现 $W^{2,p,\beta}$ 和 $C^{1,\alpha,\beta}$ 估计。
• 在紧致 Kähler 流形上，任何 $C^{1,1,\beta}$ 解到锥形 Monge-Ampère 方程在常数意义下唯一，且属于 $C^{2,\alpha,\beta}$，其中 $0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$。
• 锥形 Kähler-Ricci 流收敛于 $C^{2,\alpha,\beta}$ 解，通过基于流的正则化方法证明弱解实际上是强解。