[论文解读] Perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian

Robert Cass|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文在正特征 $p>0$ 下构造了仿射格拉斯曼ian上 $L^+G$-等变的 $\mathbb{F}_p$-奇异层的范畴，证明其为对称张量范畴，并通过坦纳基安形式理论建立其与仿射单群概形表示范畴的等价关系。关键结果是模 $p$ 萨塔克同构的逆的几何实现，其中 IC 层的卷积保持为简单层，且每个 IC 层的上同调在 $\mathbb{F}_p$ 上为一维。该工作依赖于仿射舒伯特簇的弗罗贝尼乌斯分裂与全局 $F$-正则性。

ABSTRACT

For a reductive group over an algebraically closed field of characteristic $p > 0$ we construct the abelian category of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian that are equivariant with respect to the action of the positive loop group. We show this is a symmetric monoidal category, and then we apply a Tannakian formalism to show this category is equivalent to the category of representations of a certain affine monoid scheme. We also show that our work provides a geometrization of the inverse of the mod $p$ Satake isomorphism. Along the way we prove that affine Schubert varieties are globally $F$-regular and we apply Frobenius splitting techniques to the theory of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves.

研究动机与目标

• 在正特征下定义并研究仿射格拉斯曼ian $\operatorname{Gr}$ 上 $L^+G$-等变的 $\mathbb{F}_p$-奇异层的范畴。
• 证明该范畴在卷积下为对称张量范畴，并可通过坦纳基安形式理论重构为某个仿射单群概形 $M_G$ 的表示范畴。
• 证明上同调函子 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ 是正合、忠实且对称张量的，从而导出与 $\operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$ 的等价关系。
• 通过坦纳基安函子与 IC 层上同调，提供模 $p$ 萨塔克同构逆的几何实现。
• 证明仿射舒伯特簇是全局 $F$-正则的，并应用弗罗贝尼乌斯分裂技术分析 $\mathbb{F}_p$-奇异层。

提出的方法

• 利用中间奇异度条件与 $\ell$-进层的 $\mathbb{F}_p$-结构，定义 $\operatorname{Gr}$ 上的 $\mathbb{F}_p$-奇异层。
• 利用 $LG$ 的群胚结构与 Hecke 代数作用，构造 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$ 上的卷积积。
• 证明上同调函子 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ 是正合且忠实的，并通过范畴的张量结构将其提升为对称张量函子。
• 对纤维函子 $H$ 应用坦纳基安形式理论，证明其自同态群由 $\mathbb{F}_p$ 上的仿射单群概形 $M_G$ 表示。
• 利用弗罗贝尼乌斯分裂技术，证明仿射舒伯特簇是全局 $F$-正则的，从而保证 $\mathbb{F}_p$-奇异层的纯性与高阶上同调的消失。
• 通过比较 $K_0$ 上的坦纳基安函子 $\mathcal{T}$ 与萨塔克映射的逆 $\mathcal{S}^{-1}$，建立模 $p$ 萨塔克同构，其中使用了赫兹格的公式表示 $\mathcal{S}^{-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在正特征下定义一个行为良好的 $L^+G$-等变 $\mathbb{F}_p$-奇异层范畴，其定义在仿射格拉斯曼ian上？
• RQ2 该奇异层范畴在卷积下是否为对称张量范畴？是否可通过坦纳基安形式理论重构？
• RQ3 仿射舒伯特簇上 IC 层的上同调在 $\mathbb{F}_p$ 上是否保持为一维？这对范畴结构有何含义？
• RQ4 模 $p$ 萨塔克同构的逆是否可通过奇异 $\mathbb{F}_p$-层上的坦纳基安函子实现几何化？
• RQ5 仿射舒伯特簇具有何种奇点？弗罗贝尼乌斯分裂技术如何帮助分析 $\mathbb{F}_p$-奇异层？

主要发现

• 在卷积下，$L^+G$-等变 $\mathbb{F}_p$-奇异层范畴 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$ 是对称张量范畴。
• 上同调函子 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ 是正合、忠实且对称张量的，从而导出等价关系 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$，其中 $M_G$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的仿射单群概形。
• IC 层的卷积满足 $\operatorname{IC}_{\mu_1} * \operatorname{IC}_{\mu_2} = \operatorname{IC}_{\mu_1 + \mu_2}$，表明简单对象的乘积仍为简单对象。
• 对每个极大权重 $\mu$，有 $H(\operatorname{IC}_\mu)$ 的 $\mathbb{F}_p$-维数恰好为 1，即 $\dim_{\mathbb{F}_p} H(\operatorname{IC}_\mu) = 1$。
• 仿射舒伯特簇 $\operatorname{Gr}_{\leq \mu}$ 是全局 $F$-正则的，这一关键性质被用于控制 $\mathbb{F}_p$-奇异层的上同调与纯性。
• 坦纳基安函子 $\mathcal{T}$ 在 $K_0(P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)) \otimes \mathbb{F}_p$ 上与模 $p$ 萨塔克同构的逆 $\mathcal{S}^{-1}$ 一致，从而实现了萨塔克映射逆的几何化。