[论文解读] Quenched large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 3

一句话总结

该论文通过粒子视角和速率函数的变分公式，建立了在 $\mathbb{Z}^d$ 上具有有界跳跃的随机环境中随机游走的淬火大偏差原理（LDP）。在一维情况下验证了变分公式最小化器的假设（Ansatz），将先前针对最近邻情形的结果推广至具有有界跳跃的随机游走。

ABSTRACT

We take the point of view of a particle performing random walk with bounded jumps on $\mathbb{Z}^d$ in a stationary and ergodic random environment. We prove the quenched large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. When $d=1$, we verify this Ansatz and generalize the nearest-neighbor result of Comets, Gantert and Zeitouni to walks with bounded jumps.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{Z}^d$ 上具有有界跳跃的随机环境中随机游走的平均速度的淬火大偏差原理。
• 通过环境马氏链的对偶经验测度的收缩，推导出淬火速率函数的变分公式。
• 提出并验证一维情形下变分公式最小化器的假设（Ansatz）。
• 将 Comets、Gantert 和 Zeitouni 的最近邻结果推广至 $d=1$ 时具有有界跳跃的随机游走。
• 使用粒子视角和 Doob $h$-变换框架分析淬火LDP。

提出的方法

• 使用淬火测度 $P_x^\omega$ 建立环境马氏链对偶经验测度的淬火LDP。
• 应用收缩原理，推导出平均速度的淬火LDP，从而得到速率函数的变分公式。
• 基于环境核的结构和不变测度，提出变分公式最小化器的假设（Ansatz）。
• 利用粒子视角，将环境马氏链视为主要的随机过程。
• 采用 Doob $h$-变换分析在淬火测度下不变测度和转移核的性质。
• 通过矩条件和 Garsia-Rodemich-Rumsey 定理，验证一维情形下假设的成立性，从而证明缩放函数族的一致连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Z}^d$ 上具有有界跳跃的随机游走，在平稳遍历的随机环境中，其平均速度的淬火大偏差速率函数是什么？
• RQ2 能否通过环境马氏链对偶经验测度的收缩，推导出淬火速率函数的变分公式？
• RQ3 所提出的变分公式最小化器的假设在具有有界跳跃的一维情形下是否成立？
• RQ4 淬火LDP如何将 Comets、Gantert 和 Zeitouni 的最近邻结果推广至具有有界跳跃的随机游走？
• RQ5 在淬火设定下，哪些条件能保证速率函数的下确界连续性或连续性？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上具有有界跳跃的随机游走，在平稳遍历的随机环境中，其平均速度的淬火LDP得以建立。
• 通过环境马氏链对偶经验测度的淬火LDP进行收缩，推导出淬火速率函数的变分公式。
• 在一维情形下，验证了变分公式最小化器的假设，确认其在给定假设下的有效性。
• 该结果将 Comets、Gantert 和 Zeitouni 的最近邻淬火LDP推广至 $d=1$ 时具有有界跳跃的随机游走。
• 在一般条件下，速率函数被证明是有限且下确界连续的，但不一定是连续的。
• 在周期性环境情形下，由于状态空间的有限维性与一致椭圆性，速率函数 $\mathfrak{I}$ 是连续的。