[论文解读] Reduction for quasi-morphisms on contactomorphism groups and contact rigidity

Matthew Strom Borman, Frol Zapolsky|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 3

一句话总结

本文利用 Givental 的非线性 Maslov 指标和一种新颖的接触约化技术，对预约化辛 toric 流形的接触同构群的万有覆叠上构造了同态的拟同态。关键贡献在于在接触流形中建立了一套刚性子集的层级结构，从而揭示了加权射影空间实部的辛刚性，以及关于接触序化和 Sandon 型度量的新结果。

ABSTRACT

We build homogeneous quasi-morphisms on the universal cover of the contactomorphism group for certain prequantizations of symplectic toric manifolds. This is done using Givental's nonlinear Maslov index and a contact reduction technique for quasi-morphisms. We show how these quasi-morphisms lead to a hierarchy of rigid subsets of contact manifolds. As a corollary we establish symplectic rigidity for the real part of weighted projective spaces. We also show that the nonlinear Maslov index has a vanishing property, which plays a key role in our proofs. Finally we present applications to orderability of contact manifolds and Sandon-type metrics on contactomorphism groups.

研究动机与目标

• 为特定预约化辛 toric 流形的接触同构群的万有覆叠构造同态拟同态提供一种方法。
• 利用这些拟同态在接触流形中建立刚性子集的层级结构。
• 通过构造的不变量证明加权射影空间实部的辛刚性。
• 展示非线性 Maslov 指标的消失性质，这对构造过程至关重要。
• 将结果应用于接触序化和接触同构群上 Sandon 型度量的几何结构。

提出的方法

• 利用 Givental 的非线性 Maslov 指标作为构造接触同构群上拟同态的基础不变量。
• 将接触约化技术应用于拟同态，实现从高维接触流形到低维流形的不变量传递。
• 利用接触同构群的万有覆叠以确保拟同态的同态性。
• 利用非线性 Maslov 指标的消失性质来控制约化下的行为并保证一致性。
• 结合辛几何与接触几何技术，分析刚性和度量结构。
• 利用所得拟同态探测序化性并定义接触同构群上的度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地在预约化辛 toric 流形的接触同构群的万有覆叠上构造同态拟同态？
• RQ2 非线性 Maslov 指标在生成此类拟同态中起什么作用？其在约化下是否满足消失性质？
• RQ3 这些拟同态能否用于在接触流形中定义刚性子集的层级结构？
• RQ4 该框架在多大程度上暗示了加权射影空间实部的辛刚性？
• RQ5 这些构造如何影响接触流形的序化性以及 Sandon 型度量的结构？

主要发现

• 通过接触约化和 Givental 的非线性 Maslov 指标，成功实现了在接触同构群万有覆叠上构造同态拟同态。
• 确立了非线性 Maslov 指标的消失性质，这对拟同态在约化下的一致性和行为至关重要。
• 这些拟同态生成了接触流形中刚性子集的层级结构，反映出深刻的几何约束。
• 通过构造的不变量，证明了加权射影空间实部的辛刚性。
• 研究结果为接触流形的序化性以及接触同构群上 Sandon 型度量的结构提供了新见解。
• 该框架为通过约化技术系统地关联接触几何与辛拓扑中的几何不变量提供了方法。