[论文解读] Solutions of Vectorial Hamilton-Jacobi Equations are Rank-One Absolute Minimisers in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明，在连续性和梯度方向的秩一凸性条件下，向量值Hamilton-Jacobi方程 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ 的经典 $C^1$ 解是 $L^\infty$ 泛函 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\,\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ 的秩一绝对极小化元。该结果将Aronsson的 $L^\infty$ 极小性原理推广至向量值情形，填补了向量值 $L^\infty$ 变分法理论中的关键空白。

ABSTRACT

Given the supremal functional $E_\infty(u,Ω')=ess\,\sup_{Ω'} H(\cdot,D u)$ defined on $W^{1,\infty}_{loc}(Ω,\mathbb{R}^N)$, $Ω' \Subset Ω\subseteq \mathbb{R}^n$, we identify a class of vectorial rank-one Absolute Minimisers by proving a statement slightly stronger than the next claim: vectorial solutions of the Hamilton-Jacobi equation $H(\cdot,D u)=c$ are rank-one Absolute Minimisers if they are $C^1$. Our minimality notion is a generalisation of the classical $L^\infty$ variational principle of Aronsson to the vector case and emerged in earlier work of the author. The assumptions are minimal, requiring only continuity and rank-one convexity of the level sets.

研究动机与目标

• 解决当 $N \geq 2$ 时向量值 $L^\infty$ 变分问题缺乏严格极小性概念的问题，此时由于系数不连续，经典Aronsson理论失效。
• 为 $W^{1,\infty}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^N)$ 中的向量值函数识别出绝对极小性的一种自然推广——秩一绝对极小性。
• 证明当 $H$ 关于梯度连续且具有秩一凸性时，向量值Hamilton-Jacobi方程 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ 的解是秩一绝对极小化元。
• 为向量值 $L^\infty$ 变分法提供一个基础性结果，将标量 $\infty$-调和理论推广至向量情形。
• 解决 $N \geq 2$ 时 $\infty$-Laplace系统中系数矩阵不连续的问题，该问题使标准极小性概念失效。

提出的方法

• 将秩一绝对极小性定义为Aronsson绝对极小性在向量情形的推广，要求函数梯度结构在任意子域上使 $H$ 的上确界最小化。
• 通过光滑逼近核 $\eta^{\varepsilon/k}$ 和单位分解 $\{\zeta_k\}$ 进行扰动分析，测试测试函数 $\psi$ 上的极小性条件。
• 利用 $H$ 的连续性和秩一凸性，通过模连续性 $\omega_1, \omega_2$ 控制扰动梯度上 $H$ 的本质上确界，估计误差。
• 构造测试函数 $u = \xi \cdot \psi$，其中 $\xi$ 为单位向量，并通过分解 $\mathrm{D}u = \xi \otimes \mathrm{D}(\xi \cdot \psi) + [\xi]^\perp \mathrm{D}\psi$ 分析梯度 $\mathrm{D}u$。
• 利用 $\xi$ 与 $[\xi]^\perp$ 的正交性解耦梯度分量，通过三角不等式和连续性估计控制 $H$ 的本质上确界。
• 在扰动估计中取 $\varepsilon \to 0$ 的极限，证明 $\mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u) \leq \mathrm{ess}\sup_{\mathbb{B}_\rho(x_0)} H(\cdot, \mathrm{D}\psi)$，从而证明极小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $H$ 连续且关于梯度具有秩一凸性时，向量值Hamilton-Jacobi方程 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ 的经典 $C^1$ 解是否为 $L^\infty$ 泛函 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ 的秩一绝对极小化元？
• RQ2 当 $\infty$-Laplace系统具有不连续系数时，如何将绝对极小性的概念推广至向量值情形？
• RQ3 对 $H$ 的何种最小假设可保证 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ 的解在秩一意义下为极小化元？
• RQ4 能否在不假设 $\min\{n, N\} = 1$ 的条件下，将经典Aronsson的 $L^\infty$ 变分原理推广至向量情形？
• RQ5 若 $H$ 的等值集具有秩一凸性，且 $H$ 连续，是否足以保证 $H$-解在 $L^\infty$ 意义下为极小化元？

主要发现

• 在 $H$ 连续且关于梯度具有秩一凸性时，向量值Hamilton-Jacobi方程 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ 的经典 $C^1$ 解是 $L^\infty$ 泛函 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ 的秩一绝对极小化元。
• 极小性成立，即对所有满足 $\psi = u$ 在 $\partial \Omega'$ 上的 $\psi$，有 $\mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u) \leq \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}\psi)$，从而证明了极小性条件。
• 即使 $\infty$-Laplace系统具有不连续系数，秩一绝对极小性仍是Aronsson绝对极小性在向量情形下的正确推广。
• 证明依赖于使用光滑向量场和单位分解的扰动方法，误差估计通过 $H$ 和 $\mathrm{D}u$ 的模连续性控制。
• 该结果对任意连续且关于梯度具有秩一凸性的 $H$ 成立，对 $n$ 或 $N$ 无限制，解决了向量值 $L^\infty$ 变分法中的一个关键开放问题。
• 当 $N \geq 2$ 时，系数矩阵 $[\mathrm{D}u]^\perp$ 的不连续性不会阻碍极小性，只要 $H$ 满足所陈述的凸性和连续性条件。