[论文解读] Solve the General Constrained Optimal Control Problem with Common Integration Method

Sheng Zhang, Jingyuan Gao|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的数值方法，用于求解广义约束最优控制问题（OCPs），包括那些具有难以处理的路径约束的问题，通过一种变分演化方法将这些问题转化为初值问题（IVPs）。该方法建立了无协态的最优性条件，并推导出卡鲁什-库恩-塔克（KKT）乘子的积分方程，从而可利用标准的常微分方程（ODE）积分方法实现收敛。

ABSTRACT

Computation of general state- and/or control-constrained Optimal Control Problems (OCPs) is difficult for various constraints, especially the intractable path constraint. For such problems, the theoretical convergence of numerical algorithms is usually not guaranteed, and the right solution may not be successfully obtained. With the recently proposed Variation Evolving Method (VEM), the evolution equations, which guarantee the convergence towards the optimal solution in theory even for the general constrained OCPs, are derived. In particular, the costate-free optimality conditions are established. Besides the analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, the integral equation that determines the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) multiplier variable is also derived. Upon the work in this paper, the general constrained OCPs may be transformed to the Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

研究动机与目标

• 解决具有复杂状态和控制约束的广义最优控制问题的挑战，特别是现有方法难以处理的路径约束。
• 克服传统数值算法在约束OCPs中缺乏理论收敛保证的问题。
• 开发一种系统性框架，即使在一般约束结构下也能确保收敛到最优解。
• 建立无协态的最优性条件，以简化求解过程，避免显式计算协态。
• 推导出KKT乘子的积分方程，以实现利用标准ODE积分技术进行数值求解。

提出的方法

• 引入变分演化方法（VEM），推导出保证收敛到广义约束OCPs最优解的演化方程。
• 推导出无协态的最优性条件，从而无需显式求解协态。
• 建立一个积分方程，用于确定与约束相关的卡鲁什-库恩-塔克（KKT）乘子变量。
• 利用推导出的演化方程和积分约束，将原始约束OCP转化为初值问题（IVP）。
• 利用常见的常微分方程（ODE）数值积分方法求解所得IVP。
• 通过将KKT条件直接嵌入演化动力学中，确保求解过程的理论收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种通用框架，用于求解具有难以处理的路径约束的约束最优控制问题，同时保证收敛性？
• RQ2 如何推导出无协态的最优性条件，以简化OCP的求解过程，而无需显式计算协态？
• RQ3 何种积分方程形式能够实现对广义约束OCPs中KKT乘子的确定？
• RQ4 标准ODE积分方法在多大程度上可应用于将OCPs转化为初值问题后的求解？
• RQ5 所提出的方法能否确保广义OCPs（包括具有复杂或非光滑约束的问题）的理论收敛性？

主要发现

• 所提出的方法成功地将广义约束最优控制问题转化为初值问题（IVPs），从而可通过标准ODE积分方法求解。
• 无协态的最优性条件被严格推导出来，消除了对协态显式求解的需求，简化了数值过程。
• 建立了KKT乘子变量的积分方程，这对于在求解过程中强制执行约束至关重要。
• 即使对于具有难以处理的路径约束的OCPs，求解过程的理论收敛性也得到保证，解决了现有方法的主要局限性。
• 该框架适用于一大类OCPs，包括具有终端约束和复杂不等式约束的问题。
• 该方法通过理论推导得到验证，并显示与常见数值ODE求解器兼容，确保了实际可实施性。