[论文解读] Statistical convergence of order $α$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal+1 more|SHILAP Revista de lepidopterología|May 18, 2016

Approximation Theory and Sequence SpacesMathematics参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文引入并分析了概率论中随机变量序列的四种新型收敛模式：概率统计收敛阶α、概率强p-Cesàro求和收敛阶α、概率间隙统计收敛（Sθ-收敛）阶α，以及概率Nθ-收敛阶α。主要贡献在于确立了这些收敛类型蕴含极限几乎必然相等的条件，特别是证明：若一个序列在概率统计收敛阶α与间隙统计收敛阶β下均收敛，且满足liminf q_r > 1与β ≤ α，则其极限几乎必然相等。

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $α$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $α$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_θ$-convergence of order $α$ in probability, ${N_θ}$-convergence of order $α$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

研究动机与目标

• 将统计收敛的概念扩展至概率论背景下的阶α。
• 定义并研究四种新型可求和方法：概率统计收敛阶α、概率强p-Cesàro求和收敛阶α、概率间隙统计收敛（Sθ-收敛）阶α，以及概率Nθ-收敛阶α。
• 建立这四种收敛类型之间的关系，并推导其极限几乎必然相等的充分条件。
• 在概率设定下推广现有统计收敛与可求和理论的结果，特别是改进了Bhunia等人、Colak、Fridy与Orhan等人的前期工作。

提出的方法

• 为自然数子集引入α-自然密度的概念，将经典统计收敛推广至阶α。
• 通过P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ的指标数经n^α归一化后的极限，定义概率统计收敛阶α。
• 应用间隙序列（θ = {k_r}）的概念，利用h_r = k_r - k_{r-1}作为间隙大小，定义概率Sθ-收敛阶α。
• 采用具有指数p与阶α的Cesàro均值型可求和方法，定义概率强p-Cesàro求和收敛阶α。
• 基于间隙区间中指标数与总指标数之比，并按h_r^α缩放，定义基于Nθ-收敛的方法。
• 应用概率不等式与渐近分析，比较不同收敛类型，并推导极限等价的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，概率统计收敛阶α可推出间隙统计收敛阶β，反之亦然？
• RQ2 概率强p-Cesàro求和收敛阶α与其他收敛类型之间有何关系？
• RQ3 当比值q_r = k_r / k_{r-1}满足liminf q_r > 1时，阶α与阶β的收敛模式之间存在何种关系？
• RQ4 一个序列能否在不同阶α与β下同时实现统计收敛与间隙统计收敛？在何种条件下这能推出极限的几乎必然相等？
• RQ5 序列极限在不同阶α收敛类型下唯一的充要条件是什么？

主要发现

• 若一个随机变量序列在概率统计收敛阶α与概率间隙统计收敛阶β下均收敛，且满足liminf q_r > 1与β ≤ α，则其极限几乎必然相等。
• 本文证明了条件liminf q_r > 1是PS^α ⊂ PSθ^β成立的必要条件，并在该条件不成立时提供了反例。
• 研究表明，若在间隙区间上定义X_n = ±1，而在这些区间外以小概率取X_n = 0或1，则该序列即使在阶1下统计收敛，也并非概率Sθ-收敛阶β。
• 本文确立了：在给定条件下，通过阶α统计收敛在概率中收敛的序列极限，几乎必然等于通过阶β间隙统计收敛在概率中收敛的极限。
• 作者证明了这些收敛模式并不等价，且阶α与β在决定收敛类型间关系中起着关键作用。
• 证明方法依赖于利用α-与β-归一化密度对满足P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ的集合测度进行有界，当极限非几乎必然唯一时，可导出矛盾。