[论文解读] Strong convergence rates for a full discretization of stochastic wave equation with nonlinear damping

Meng Cai, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 46被引用 3

一句话总结

该论文在1D和2D空间中为带有非线性阻尼的随机波动方程的全离散化建立了强收敛率。通过在空间上使用谱伽辽金法，在时间上使用改进的隐式指数欧拉格式，作者在1D中实现了空间阶为$\frac{1}{2}$、时间阶为$1$的收敛率，而在2D中由于无穷小因子的存在导致收敛率降低，且无需对完整近似解施加矩界。

ABSTRACT

The paper establishes the strong convergence rates of a spatio-temporal full discretization of the stochastic wave equation with nonlinear damping in dimension one and two. We discretize the SPDE by applying a spectral Galerkin method in space and a modified implicit exponential Euler scheme in time. The presence of the super-linearly growing damping in the underlying model brings challenges into the error analysis. To address these difficulties, we first achieve upper mean-square error bounds, and then obtain mean-square convergence rates of the considered numerical solution. This is done without requiring the moment bounds of the full approximations. The main result shows that, in dimension one, the scheme admits a convergence rate of order $ frac12$ in space and order $1$ in time. In dimension two, the error analysis is more subtle and can be done at the expense of an order reduction due to an infinitesimal factor. Numerical experiments are performed and confirm our theoretical findings.

研究动机与目标

• 为带有非线性阻尼的随机波动方程在1D和2D空间中的全离散化建立强收敛率。
• 解决由阻尼项超线性增长带来的误差分析挑战。
• 开发一种在不需对完整近似解施加矩界的情况下实现最优收敛率的数值格式。
• 通过1D和2D设置下的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 在空间上应用谱伽辽金法，将SPDE投影到由拉普拉斯算子特征函数张成的有限维子空间上。
• 在时间上使用改进的隐式指数欧拉格式，旨在处理非线性阻尼并保持稳定性。
• 通过上界均方误差估计进行误差分析，利用伊藤公式和随机积分估计。
• 关键估计涉及利用Sobolev嵌入不等式以及对解及其增量的矩界来控制残差项。
• 分析过程避免了对完整数值近似解的先验矩界要求，从而增强了收敛结果的鲁棒性。
• 通过仔细估计离散格式中残差项的条件期望，推导出理论收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1D空间中，带有非线性阻尼的随机波动方程全离散化格式的强收敛率是多少？
• RQ2 超线性增长阻尼项的存在如何影响数值格式中的误差分析与收敛率？
• RQ3 在2D空间中，是否可以在不施加完整数值近似解矩界的情况下实现最优收敛率？
• RQ4 空间维数对收敛率有何影响，特别是在Sobolev嵌入与无穷小因子的背景下？
• RQ5 理论收敛率与数值实验所得的实证结果相比如何？

主要发现

• 在1D空间中，所提出的全离散化方法在空间上达到$\frac{1}{2}$阶、在时间上达到1阶的强收敛率。
• 在2D空间中，由于Sobolev嵌入不等式引出的无穷小因子，收敛率降低，得到的收敛率为$\tau^{4 - \frac{4\epsilon}{2 + \epsilon}}$（其中$\epsilon > 0$为小量）。
• 误差分析无需对完整数值近似解施加先验矩界，从而加强了理论框架的稳健性。
• 数值实验验证了理论收敛率：在1D和2D中时间收敛阶均为1，在1D中空间收敛阶为$\frac{1}{2}$。
• 数值模拟的均方误差的对数-对数图与理论预测率高度吻合，验证了分析的正确性。
• 通过使用精细时间步长（$\tau = 2^{-10}$）计算的参考解确保了可靠的误差估计，蒙特卡洛误差可忽略不计。