[论文解读] Symmetry-resolved Entanglement Entropy, Spectra & Boundary Conformal Field Theory

Yuya Kusuki, Sara Murciano+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2023

Physics of Superconductivity and MagnetismPhysics and Astronomy参考文献 120被引用 3

一句话总结

本文提出了一套全面的边界共形场论（CFT）框架，用于计算具有有限或紧致李群对称性的1+1维CFT中的对称性解析纠缠熵（SREE）。该工作引入了两种不同的方法——通过缺陷线作用的荷化矩以及轨道CFT对偶性，推导出SREE的普遍主导项及其第一阶修正，明确打破了纠缠等分。通过Tauberian形式化方法，建立了对称性解析纠缠谱的严格界限，在阿贝尔情形下实现了精确一致。

ABSTRACT

We perform a comprehensive analysis of the symmetry-resolved (SR) entanglement entropy (EE) for one single interval in the ground state of a $1+1$D conformal field theory (CFT), that is invariant under an arbitrary finite or compact Lie group, $G$. We utilize the boundary CFT approach to study the total EE, which enables us to find the universal leading order behavior of the SREE and its first correction, which explicitly depends on the irreducible representation under consideration and breaks the equipartition of entanglement. We present two distinct schemes to carry out these computations. The first relies on the evaluation of the charged moments of the reduced density matrix. This involves studying the action of the defect-line, that generates the symmetry, on the boundary states of the theory. This perspective also paves the way for discussing the infeasibility of studying symmetry resolution when an anomalous symmetry is present. The second scheme draws a parallel between the SREE and the partition function of an orbifold CFT. This approach allows for the direct computation of the SREE without the need to use charged moments. From this standpoint, the infeasibility of defining the symmetry-resolved EE for an anomalous symmetry arises from the obstruction to gauging. Finally, we derive the symmetry-resolved entanglement spectra for a CFT invariant under a finite symmetry group. We revisit a similar problem for CFT with compact Lie group, explicitly deriving an improved formula for $U(1)$ resolved entanglement spectra. Using the Tauberian formalism, we can estimate the aforementioned EE spectra rigorously by proving an optimal lower and upper bound on the same. In the abelian case, we perform numerical checks on the bound and find perfect agreement.

研究动机与目标

• 开发一种通用框架，用于计算具有全局对称性的1+1维共形场理论中的对称性解析纠缠熵（SREE）
• 解决长期存在的问题：在非阿贝尔及紧致对称性存在下，纠缠是否在对称性子空间中均匀分布（等分）
• 建立SREE与轨道CFT的配分函数之间的严格联系，实现无需荷化矩的直接计算
• 利用Tauberian形式化推导对称性解析纠缠谱的精确界限，尤其针对阿贝尔群和U(1)对称性
• 阐明当对称性存在异常时，SREE定义受阻的原因，并将其与规范对称性的不可能性联系起来

提出的方法

• 利用边界CFT技术计算总纠缠熵，并通过扭结边界态提取对称性解析分量
• 采用约化密度矩阵的荷化矩，分析对称性缺陷线对边界态的作用，以计算SREE
• 建立SREE与轨道CFT配分函数之间的对偶性，实现无需依赖荷化矩的SREE直接计算
• 应用扭结Cardy构造定义ω-扭结边界态，利用模S矩阵和配分特征标确保开-闭对偶性下的一致性
• 应用Tauberian形式化推导对称性解析纠缠谱的最优下界与上界，尤其针对阿贝尔群
• 利用稳定化条件及群作用在不可约表示上的性质，约束哪些表示参与SREE，尤其在异常对称性情形下

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限或紧致李群对称性的1+1维CFT中，对称性解析纠缠熵（SREE）的行为如何？其普遍主导形式是什么？
• RQ2 纠缠在对称群的不可约表示之间在多大程度上实现等分？其修正项如何打破这种等分？
• RQ3 能否通过轨道CFT对偶性直接计算SREE，从而绕过荷化矩的使用？
• RQ4 异常对称性在阻碍SREE定义中的精确作用是什么？这与无法规范对称性的关系如何？
• RQ5 如何对对称性解析纠缠谱进行严格界定？在阿贝尔情形下，此类界限的精度如何？

主要发现

• 推导出任意有限或紧致李群G的SREE普遍主导项行为，其第一阶修正明确依赖于不可约表示，打破了纠缠的等分性
• 对于U(1)对称性，推导出对称性解析纠缠谱的改进公式，推广了文献中已有的结果
• Tauberian形式化提供了对称性解析纠缠谱的严格最优下界与上界，在阿贝尔情形下与数值结果完全一致
• 两种方案——荷化矩与轨道对偶性——结果等价，后者提供了无需中间荷化矩计算的SREE直接计算路径
• 异常对称性阻止了SREE的定义，因为规范化受阻，且该阻碍被证明等价于轨道方法中扭结Cardy条件的失效
• 本文确立了仅在群元素ω作用下固定的表示（即λ ∈ I(ω)）才对ω-扭结边界态有贡献，确保了与模不变性的相容性