[论文解读] The Cohomological Crepant Resolution Conjecture for the Hilbert-Chow morphisms

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过证明对于任意单连通光滑射影曲面 $X$，量子修正上同调环 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ 同构于轨道上同调环 $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$，从而证明了 Ruan 的上同调型平坦解析化猜想针对 Hilbert-Chow 映射 $\rho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ 成立。证明结合了通过 Heisenberg 代数作用的顶点算子技术与先进的 Gromov-Witten 理论，包括共截面局部化和索引技术，将一般情形约化为此前在 toric 曲面上已验证的结果。

ABSTRACT

In this paper, we prove that Ruan's Cohomological Crepant Resolution Conjecture holds for the Hilbert-Chow morphisms. There are two main ideas in the proof. The first one is to use the representation theoretic approach proposed in [QW] which involves vertex operator techniques. The second is to prove certain universality structures about the 3-pointed genus-0 extremal Gromov-Witten invariants of the Hilbert schemes by using the indexing techniques from [LiJ], the product formula from [Beh2] and the co-section localization from [KL1, KL2, LL]. We then reduce Ruan's Conjecture from the case of an arbitrary surface to the case of smooth projective toric surfaces which has already been proved in [Che].

研究动机与目标

• 针对任意单连通光滑射影曲面，建立 Hilbert-Chow 映射 $\rho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ 的上同调型平坦解析化猜想。
• 将该猜想的有效性扩展至此前已知情形之外，如 $n=2,3$、$K_X$ 平坦或 toric 曲面的情形。
• 通过表示论与 Gromov-Witten 理论方法，统一 Hilbert 模丛的量子上同调与对称积的轨道上同调。

提出的方法

• 采用 [QW] 中的表示论框架，将上同调环 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ 与 $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$ 建模为由 $A = A^{[1]}$ 生成的 Heisenberg 代数的 Fock 空间。
• 利用顶点算子技术与 Heisenberg 代数作用的公理化结构，通过涉及 $\widetilde{\mathfrak{G}}_k(\alpha)$ 与 $\mathfrak{a}_{-1}(\beta)$ 的关系式 (1.1) 和 (1.2) 定义 $A^{[n]}$ 中的代数乘积。
• 应用 [LiJ] 中的索引技术、[Beh2] 中的乘积公式以及 [KL1, KL2, LL] 中的共截面局部化技术，分析 $X^{[n]}$ 的三叶点 genus-0 极值 Gromov-Witten 不变量。
• 通过稳定映射分解与虚拟基本链的贡献分析，证明关键关系式 (1.2) 对任意曲面均成立。
• 通过 Gromov-Witten 不变量的普遍性，将一般情形约化为已知的光滑射影 toric 曲面情形，其中该猜想已在 [Che] 中被验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X$ 为任意单连通光滑射影曲面时，Ruan 的上同调型平坦解析化猜想是否对 Hilbert-Chow 映射 $\rho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ 成立？
• RQ2 量子修正上同调环 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ 的代数结构是否能通过 Heisenberg 代数作用与顶点算子关系式 (1.1) 和 (1.2) 完全确定？
• RQ3 是否可以将 $X^{[n]}$ 的三叶点 genus-0 极值 Gromov-Witten 不变量普遍地用 $\langle K_X, K_X \rangle$ 及其他拓扑不变量表达，从而实现向 toric 情形的约化？
• RQ4 共截面局部化与虚拟链技术在存在非平凡轨道奇点时，能在多大程度上控制 Gromov-Witten 不变量？

主要发现

• 对于任意单连通光滑射影曲面 $X$，量子修正上同调环 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ 同构于轨道上同调环 $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$，从而在一般情形下完全证实了 Ruan 的猜想。
• 量子上同调环 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ 的代数结构满足 [QW] 中的公理 (A1) 与 (A2)，包括 $\widetilde{\mathfrak{G}}_k(\alpha)$ 与 $\mathfrak{a}_{-1}(\beta)$ 的关键关系式 (1.2)，即使在非 toric 曲面上也成立。
• $X^{[n]}$ 的三叶点 genus-0 极值 Gromov-Witten 不变量被证明为 $\langle K_X, K_X \rangle$ 的有界次数的通用多项式，其系数类型为 $(u_1', u_2)$，从而可约化至 toric 情形。
• 每个 Gromov-Witten 生成函数项的贡献被证明为 $\langle K_X, K_X \rangle$ 的通用多项式，其次数至多为 $n/2$ 或 $(n+1)/2$，具体取决于情形。
• 通过普遍性与辛变换下的不变性，将猜想约化至已知的光滑射影 toric 曲面情形，从而完成证明。