[論文レビュー] 4d N=2 SCFT and singularity theory Part III: Rigid singularity

Bingyi Chen, Dan Xie+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限部分群 $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ に対する3次元孤立 Gorenstein 商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ を分類し、それらが剛性（非自明な変形を許さない）であることを証明する。これにより、クーロン枝のない4次元 $\mathcal{N}=2$ 超共形場理論（SCFT）が実現される。これらの理論は、緊張のないストリングおよびフレーバー対称性の議論に基づき、自由理論ではなく相互作用的であると予想され、特異点の程よい解消における例外的除集合による、非自明なヒッグス枝を示している。

ABSTRACT

We classify three fold isolated quotient Gorenstein singularity $C^3/G$. These singularities are rigid, i.e. there is no non-trivial deformation, and we conjecture that they define 4d $\mathcal{N}=2$ SCFTs which do not have a Coulomb branch.

研究の動機と目的

• 有限部分群 $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ に対する3次元孤立 Gorenstein 商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ を分類すること。
• このような特異点が、クーロン枝のない4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT を生じるかどうかを調査すること。
• これらの SCFT の物理的性質、特にヒッグス枝構造およびそれらが相互作用的か自由かを特定すること。
• このような特異点の分類と、それらの物理的実現としての剛性 $\mathcal{N}=2$ 理論との対応関係を確立すること。

提案手法

• 3次元有理的 Gorenstein 特異点のミニ普遍変形を分析するための特異点理論の使用。
• シュレッサーザーの定理を応用し、考察対象の商特異点が剛性（非自明な変形を許さない）であることを証明すること。
• 格子三角形に内点および境界上に格子点を含まないものとして、Gorenstein トーリック特異点を分類するためのトーリック幾何学の適用。
• 関連する格子多角形のユニモジュラー三角形分割を用いた程よい解消の構成。
• 局所クラス群が自明（フレーバー対称性なし）であることから、幾何学的および物理的理論の制約を受ける。
• 特異点 $X$ を用いたタイプ IIB ストリング理論における $\mathbb{R}^{1,3} \times X$ 上の物理的解釈により、SCFT を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限部分群 $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ が、孤立 Gorenstein 商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ を与えるか？
• RQ2 これらの特異点は非自明な変形を許すか？もし許さないならば、それに対応する4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT にどのような物理的結果が生じるか？
• RQ3 これらの理論にクーロン枝がないことは、幾何学的および物理的整合性の確認を通じて確認できるか？
• RQ4 これらの剛性 $\mathcal{N}=2$ SCFT のヒッグス枝の構造は何か？また、特異点の程よい解消とどのように関係しているか？
• RQ5 これらの理論は相互作用的か自由か？その結論を支持する証拠は何か？

主な発見

• すべての $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ に対する孤立 Gorenstein 商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ は剛性であり、非自明なミニ普遍変形を許さない。
• このような特異点の分類は、$ (0,0), (1,0), (a,b) $ を頂点とし、$ \gcd(a,b) = \gcd(a-1,b) = 1 $ を満たす、内点および境界上に格子点を含まない格子三角形に正確に一致する。
• 非自明な変形の不在は、対応する4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT がクーロン枝を含まず、質量変形も許されないことを意味する。
• 各特異点の程よい解消は滑らかであり、例外的除集合（例：$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_3$ に対して $\mathbb{CP}^2$）を含むため、非自明なヒッグス枝を示している。
• 局所クラス群が自明であるため、フレーバー対称性がなく、質量変形が排除され、クーロン枝の不在を支持する。
• 緊張のないストリングの存在およびフレーバー対称性の不在といった物理的議論により、これらの SCFT は自由ハイパーマトリクスではなく、相互作用的であると示唆される。