[論文レビュー] A Break of the Complexity of the Numerical Approximation of Nonlinear SPDEs with Multiplicative Noise

Arnulf Jentzen, Michael Roeckner|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、乗法的トレースクラスノイズを伴う非線形確率偏微分方程式（SPDE）をシミュレートするための、新しい無限次元ミルシュタイン型アルゴリズムを提案する。従来の手法と比較して、反復確率積分のシミュレーションが簡素化される。このアプローチにより、計算複雑性に顕著な改善が得られ、確率的熱方程式、反応拡散方程式、バーガース方程式に対する数値実験で顕著な効率向上が示された。

ABSTRACT

A new algorithm for simulating stochastic partial differential equations (SPDEs) of evolutionary type, which is in some sense an infinite dimensional analog of Milstein’s scheme for finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs), is introduced and analyzed in this article. The Milstein scheme is known to be impressively efficient for scalar one-dimensional SODEs but only for some special multidimensional SODEs due to difficult simulations of iterated stochastic integrals in the general multidimensional SODE case. It is a key observation of this article that, in contrast to what one may expect, its infinite dimensional counterpart introduced here is very easy to simulate and this, therefore, leads to a break of the complexity (number of computational operations and random variables needed to compute the scheme) in comparison to previously considered algorithms for simulating nonlinear SPDEs with multiplicative trace class noise. The analysis is supported by numerical results for a stochastic heat equation, stochastic reaction diffusion equations and a stochastic Burgers equation showing significant computational savings.

研究の動機と目的

• 乗法的トレースクラスノイズを伴う非線形SPDEのシミュレーションにおける高い計算コストを解消すること。
• 確率微分方程式（SODE）において知られるミルシュタインスキームの効率性を、SPDEの無限次元設定に拡張すること。
• 一般多次元SODEにおける反復確率積分のシミュレーションの難しさを、無限次元ケースにおける構造的利点を活用することで克服すること。
• 発展型SPDEの数値的に実行可能で計算的に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 理論的複雑性削減を数値的妥当性検証を通じて示し、従来手法と比較して顕著な計算コスト削減を実証すること。

提案手法

• トレースクラスノイズの構造を活用した、SPDEにおけるミルシュタインスキームの無限次元アナログを提案する。
• スペクトル的またはガラーキン型の空間近似を用いてSPDEをSDEの系に還元し、ミルシュタイン型の時間離散化を適用可能にする。
• 無限次元設定において反復確率積分のシミュレーションを簡素化し、ノイズ構造のおかげでこのような項が取り扱いやすくなる。
• 2次の確率的テイラー展開を用いてスキームを導出し、弱収束の順序を保証する。
• ガラーキン射影を用いて、確率的熱方程式、反応拡散方程式、バーガース方程式などのさまざまなSPDEにスキームを適用する。
• 数値実験を通じて理論的複雑性削減の妥当性を検証し、計算コスト削減の程度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のSPDEにおいて反復確率積分の計算負荷を回避する無限次元ミルシュタインスキームの拡張が可能か？
• RQ2 提案されたアルゴリズムは、乗法的ノイズを伴う非線形SPDEに対して、従来のスキームと比較して顕著な計算複雑性の低減を達成するか？
• RQ3 確率的熱方程式やバーガース方程式などの異なる種類の非線形SPDEにおいて、このスキームは数値的に安定かつ効率的か？
• RQ4 操作数と確率変数の数を定量的に比較した場合、新規アルゴリズムは標準的なオイラー型スキームや他の高次スキームと比べてどのように異なるか？
• RQ5 無限次元におけるトレースクラスノイズの構造的性質を活用して、確率積分のシミュレーションを簡素化できるか？

主な発見

• 提案された無限次元ミルシュタイン型スキームは、乗法的トレースクラスノイズを伴う非線形SPDEに対して、従来の手法と比較して顕著な計算複雑性の低減を達成した。
• 有限次元SODEでは計算コストが膨大となる反復確率積分のシミュレーションが、無限次元設定ではノイズ構造のおかげで実行可能かつ効率的になった。
• 確率的熱方程式、確率的反応拡散方程式、確率的バーガース方程式に対する数値実験から、顕著な計算コスト削減が確認された。
• アルゴリズムは必要な確率変数の数と計算操作の回数を著しく削減しながらも、高い精度を維持した。
• 特に高精度が求められる問題では、標準的なオイラー型スキームを上回る効率性を示した。
• 主な洞察は、無限次元設定では有限次元の場合に存在しない簡素化が可能であり、高次スキームの実用的実装を可能にしていることである。