[論文レビュー] A categorification of U_T sl(1,1) and its tensor product representations

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、微分的可換代数（DG代数）およびそのホモロジー圏を用いて、量子スーパーグループ $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 及びそのテンソル積表現 $V_1^{\bigotimes n}$ のカテゴリフィケーションを構成する。DG圏 $HP(A)$, $HP(B)$, $HP(R_n)$ を定義し、それぞれのグローテンディーク群が $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$、そのテンソル積、および $V_1^{\bigotimes n}$ を実現する。さらに、代数的演算および表現作用をカテゴリカル関手へと上げる。

ABSTRACT

We define the Hopf superalgebra U_T sl(1,1), which is a variant of the quantum supergroup U_q sl(1,1), and its tensor product representations V_1^{\otimes n} for n>0. We construct families of DG algebras A, B and R_n, and consider the DG categories DGP(A), DGP(B) and DGP(R_n), which are full DG subcategories of the categories of DG A-, B- and R_n-modules generated by certain distinguished projective modules. Their 0th homology categories HP(A), HP(B), and HP(R_n) are triangulated and give algebraic formulations of the contact categories of an annulus, a twice punctured disk, and an n times punctured disk. We categorify the multiplication and comultiplication on U_T sl(1,1) to a bifunctor HP(A) imes HP(A) --> HP(A) and a functor HP(A) --> HP(B), respectively. The U_T sl(1,1)-action on V_1^{\otimes n} is lifted to a bifunctor HP(A) imes HP(R_n) --> HP(R_n).

研究の動機と目的

• Hopfスーパーグループ $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$（$\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ の変種）のカテゴリフィケーションを開発すること。
• その基本的表現を含む $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 及びそのテンソル積のグローテンディーク群を実現する DG代数 $A$, $B$, $R_n$ を構成すること。
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ の代数的乗法および余乗法を、ホモロジー圏 $HP(A)$ と $HP(B)$ 間の関手へと上げること。
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ が $V_1^{\bigotimes n}$ に作用するのを、双関手 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$ としてカテゴリカル表現として与えること。

提案手法

• 生成元 $E, F, T, T^{-1}$ と関係式 $E^2 = F^2 = 0$, $EF + FE = I - T$, $ET = TE$, $FT = TF$, $TT^{-1} = I$ を持つ、$\mathbb{Z}$ 上の Hopfスーパーグループ $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ を定義する。
• ロウク図とスタッキングの組み合わせ的データから、$\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 及びその表現の代数的構造を符号化する DG代数 $A$, $B$, $R_n$ を構成する。
• 特別な射影的モジュールによって生成される DGモジュールの完全部分圏として、DG圏 $DGP(A)$, $DGP(B)$, $DGP(R_n)$ を定義する。
• 0次ホモロジー圏 $HP(A)$, $HP(B)$, $HP(R_n)$ を計算し、これらが三角的であり、それぞれ $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, $V_1^{\bigotimes n}$ のグローテンディーク群に同型であることを示す。
• 右乗法およびロウク図上の微分作用を用いて、$R_n$ と $H(R_n)$ 間の DG $(H(R_n), A \boxtimes R_n)$-両側モジュール $C_n$ を定義し、関係式および DG 構造と整合性を持つように保証する。
• $C_n$ を用いて、テンソル積による写像 $\eta_n: DGP(A \boxtimes R_n) \to DGP(H(R_n))$ を定義し、これにより誘導される関手 $HP(A \boxtimes R_n) \to HP(H(R_n))$ を得る。この関手は、$\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ が $V_1^{\bigotimes n}$ に作用するのを上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hopfスーパーグループ $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ は、DG代数およびそのホモロジー圏を用いてカテゴリフィケーション可能であり、そのグローテンディーク群を実現できるか？
• RQ2 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ のテンソル積表現 $V_1^{\bigotimes n}$ は、DG圏および両側モジュールを用いてカテゴリフィケーション可能か？
• RQ3 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ の余乗法および乗法は、ホモロジー圏 $HP(A)$ と $HP(B)$ 間の関手へと上げられるか？
• RQ4 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ が $V_1^{\bigotimes n}$ に作用するのを、双関手 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$ として上げられるか？
• RQ5 カテゴリカル作用は同値の意味で結合的か？このような結合性を保証する条件は何か？

主な発見

• $HP(A)$ のグローテンディーク群は $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ に同型であり、$\Gamma \in \{E, F\}$ および $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_n$ に対して $[P(\Gamma, \mathbf{x})]$ が基底要素に対応する。
• $HP(R_n)$ のグローテンディーク群は $V_1^{\bigotimes n}$ に同型であり、$\Gamma \in \{E, F\}$ および $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_{n,k}$ に対して $\{[P(\Gamma, \mathbf{x})]\}$ が基底を与える。
• 誘導された関手 $K_0(\cal{M}_n): K_0(HP(A)) \times K_0(HP(H(R_n))) \to K_0(HP(H(R_n)))$ は、$V_1^{\bigotimes n}$ 上の $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$-作用と一致し、表現のカテゴリフィケーションが確認される。
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ の余乗法 $\Delta$ は関手 $HP(A) \to HP(B)$ としてカテゴリフィケーションされ、乗法は双関手 $HP(A) \times HP(A) \to HP(A)$ としてカテゴリフィケーションされる。
• $C_n$ の右 $A \boxtimes R_n$-モジュール構造は適切に定義されており、DG微分と整合性を持つことが、ロウク図上の局所関係および交換関係により検証された。
• $HP(A)$ が $HP(H(R_n))$ に作用する関手 $\cal{M}_n$ は適切に定義されており、代数的作用を上げる。$K_0(\cal{M}_n)$ は $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \times V_1^{\bigotimes n} \to V_1^{\bigotimes n}$ の表現と一致する。