[論文レビュー] A criterion for coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity of a quantum channel

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子チャネルのエンタングルメント支援古典的容量とホールボ容量の一致に関する必要十分条件を確立する。その条件は、チャネルのχ-本質的部が古典的量子（c-q）チャネルであることである。この結果は、線形制約を伴う有限次元から無限次元のチャネルへと一般化され、等式が成立するのは、入力状態の台に制限されたチャネルがc-qである場合に限る。逆に、対角化可能である場合には、その逆も成り立つ。

ABSTRACT

It is easy to show coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity for any c-q channel between finite dimensional quantum systems. In this paper we prove the converse assertion: coincidence of the above-mentioned capacities of a quantum channel implies that the $χ$-essential part of this channel is a c-q channel (the $χ$-essential part is a restriction of a channel obtained by discarding all input states useless for transmission of classical information). The above observations are generalized to infinite dimensional quantum channels with linear constraints by using the obtained conditions for coincidence of the quantum mutual information and the constrained Holevo capacity.

研究の動機と目的

• 量子チャネルに対してエンタングルメント支援古典的容量がホールボ容量と一致する必要十分条件を同定すること。
• この等式が正確にエンタングルメント破壊チャネルに対して成り立つという誤解を解き、実際にはc-qチャネルが特徴づけることを示すこと。
• 有限次元での特徴づけを、線形制約を伴う無限次元チャネルへと拡張すること。
• チャネルの制限と状態の台を介して、制約付きホールボ容量と量子相互情報量の間の関係を分析すること。
• 等式 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ が成り立つための条件を、チャネルのχ-本質的部の構造を通じて確立すること。

提案手法

• ホールボ容量の最適なアンサンブルをすべて支持する最小部分空間への制限として、チャネルのχ-本質的部を定義する。
• スティンペイン拡張を用いてチャネルおよびその補完的チャネルを表現し、量子相互情報量の分析を可能にする。
• 純粋状態の族に関してチャネルの可逆性の概念を適用し、無限次元設定における結果 [17] を援用する。
• トレースクラス作用素における収束および測度の弱収束を取り扱うために、χ量の下半連続性および相対エントロピーの性質を活用する。
• 強収束を介して有限次元から無限次元へと結果を拡張するため、近似有限ランクチャネル $ \Phi_n = \Pi_n \circ \Phi $ を構成する。
• 収束条件の下で等式 $ I(\Phi, \rho) = \chi(\Phi(\mu)) - \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $ を証明し、相互情報量とホールボ容量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメント支援古典的容量が量子チャネルのホールボ容量と一致する条件は何か？
• RQ2 等式 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ が成立する場合、チャネルのχ-本質的部が古典的量子（c-q）チャネルであると結論づけられるか？
• RQ3 有限次元での結果を、線形制約を伴う無限次元量子チャネルへとどのように一般化できるか？
• RQ4 制約付きホールボ容量 $ \bar{C}(\Phi, \rho) $ と量子相互情報量 $ I(\Phi, \rho) $ の関係は何か？
• RQ5 等式 $ I(\Phi, \rho) = \bar{C}(\Phi, \rho) $ が成立する場合、$ \mathrm{supp}\,\rho $ に制限されたチャネルがc-qチャネルであると結論づけられるのはいつか？

主な発見

• 有限次元チャネルでは、$ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ が成り立つのは、$ \Phi $ のχ-本質的部がc-qチャネルである場合に限る。
• エンタングルメント支援容量とホールボ容量が一致するチャネルのクラスは、エンタングルメント破壊チャネルのクラスと一致しない。
• 線形制約を伴う無限次元設定では、$ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $ ならば、$ \Phi $ を $ \mathrm{supp}\,\rho $ に制限したものがc-qチャネルである。
• 逆に、$ \rho $ が制限されたチャネルのc-q表現の基底において対角化可能であるならば、$ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $ が成り立つ。
• 近似チャネル $ \Phi_n $ が強トポロジーで $ \Phi $ に収束するならば、$ \chi(\Phi_n(\mu)) \to \chi(\Phi(\mu)) $ および $ \chi(\widehat{\Phi}_n(\mu)) \to \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $ が成り立つ。
• 無限次元の場合の収束および等式の証明において、χ量の下半連続性と、量子操作における相対エントロピーのモナドニシティが鍵となる。