[論文レビュー] A Cubical Set Approach to 2-Bundles with Connection and Wilson Surfaces

João Faría Martins, Roger Picken|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体上での2バンドルと接続を定義するための立方体集合フレームワークを提示する。非可換ゲージ構造を表現するためにリー群の交差モジュールを用い、正方形の二面体群の下での共変な2次元ホロノミー（平行移動）を確立し、細いホモトピーに関して不変であることを証明した。さらに、ゲージ不変なウィルソン表面関数を定義した。具体的には、ウィルソン球面とトーラスを対象とし、それらはバンドルの同値類と表面の位相的型にのみ依存する。

ABSTRACT

In the context of non-abelian gerbes we define a cubical version of categorical group 2-bundles with connection over a smooth manifold. We define their two-dimensional parallel transport, study its properties, and define non-abelian Wilson surface functionals.

研究の動機と目的

• 立方体集合を用いて2バンドルと接続の微分幾何的枠組みを構築し、複雑な2カテゴリカル構造を避けること。
• 局所的な接続データと移行関数を用いて、滑らかな多様体内の曲面に対する2次元平行移動（ホロノミー）を定義すること。
• 球面およびトーラスに対して非可換なウィルソン表面観測量を構成すること。その値は、細いホモトピーおよび写像類群作用に関して不変である。
• 2ホロノミーにおける非可換Fubini定理を確立し、正方形の二面体対称性の下での共変性を示すこと。
• 4次元の高次ゲージ理論におけるゲージ不変作用素の基礎を築くこと。これはChern-Simons理論に類似した形である。

提案手法

• リー交差モジュール $\mathcal{G} = (\partial: E \to G, \triangleright)$ を用いて、多様体 $M$ 上に立方体集合として定義された $γ$-2バンドルと接続を定義する。
• 滑らかな写像 $[0,1]^2 \to M$ を細いホモトピーで同一視することで、$M$ の細いホモトピー二重群体を構成し、分割を介してホロノミーの計算を可能にする。
• 二重群体（交差モジュールと同値）を用いて1次および2次移行関数を管理し、分割された正方形を越えて局所ホロノミーを貼り合わせる。
• 接続1形式および曲率2形式を用いて局所2ホロノミーを定義し、カテゴリカル群 $E$ の値をとり、交差モジュールの関係を満たす。
• 非可換Fubini定理を適用し、ホロノミーが正方形の二面体対称性に関して不変であることを示す。これは交差モジュールの公理から導かれる。
• 埋め込まれた2次元球面またはトーラス上のホロノミー値としてウィルソン表面関数を定義し、細いホモトピーおよび写像類群作用に関して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2バンドルと接続を単体的集合ではなく立方体集合を用いて一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 2バンドル内の曲面に対する2次元ホロノミーの構造は何か？また、パrameter領域の対称性の下でどのように変化するか？
• RQ3 曲面のホロノミーがパrametrizationに依存しない条件は何か？また、これは曲面の位相にどのように依存するか？
• RQ4 ゲージ不変かつ位相的に意味のある非可換ウィルソン表面観測量を定義できるか？
• RQ5 曲面の写像類群が、高次ゲージ理論における表面ホロノミーの不変性に与える影響は何か？

主な発見

• 立方体 $γ$-2バンドルと接続上で定義された2次元ホロノミーは、正方形の二面体群の下で共変であり、これは交差モジュールの公理から導かれる。
• ウィルソン球面観測量 ${\mathcal{W}}_{\mathcal{B}}(\Sigma)$ は、埋め込まれた2次元球面 $\Sigma$ のパrametrizationに依存せず、$G$ の元による作用を除いて不変である。これは $S^2$ の写像類群が自明であるためである。
• ウィルソントーラス関数 ${\mathcal{W}}_{\mathcal{B}}(\Gamma,\mathcal{Q})$ の値は $\partial^{-1}(G^{(1)}) \subset E$ に属し、$G^{(1)}$ は $G$ の交換子部分群である。この関数は細いホモトピーおよび2パスの同値性に関して不変である。
• ウィルソントーラス関数は、$G$ の元による同時水平および垂直の共役変換の下で変化し、接続におけるゲージ自由度を反映している。
• 2次元球面のホロノミーは細いホモトピーに関して不変であり、2バンドルと接続の同値類にのみ依存し、特定のパrametrizationには依存しない。
• 非自明な写像類群を有する曲面（例：トーラス）では、ホロノミーはパrametrizationの同倫型に依存するが、球面の場合はそうではない。