[論文レビュー] A General Fredholm Theory III: Fredholm Functors and Polyfolds

Helmut Hofer, Kris Wysocki+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Fredholm函手とep-群倉を用いて、多様体の一般化であるポリフォールドにおける一般化されたFredholm理論を確立し、無限次元および特異的空間への古典的Fredholm理論の拡張を実現する。重み付き分岐部分多様体の定義と積分を可能にする枠組みを導入することで、横断性の障害があるにもかかわらず、シンプレクティック場理論およびGromov-Witten理論における不変量の構成が可能になる。

ABSTRACT

We describe a very general (nonlinear) Fredholm theory for a new class of ambient spaces, called polyfolds. The basic feature of these new spaces is that in general they may have locally varying dimensions. These new spaces are needed for a functional analytic treatment of nonlinear problems involving analytic limiting behavior. This theory is applicable to Gromov-Witten and Floer Theory as well as Symplectic Field Theory.

研究の動機と目的

• 無限次元および特異的空間へのFredholm理論の拡張を、新しい圏論的枠組みを用いて行う。
• M-多様体に基づくep-群倉のMorita同値類を備えた第二可算かつ局所コンパクトな空間としてポリフォールドを定義する。
• 局所的対称性と整合するFredholm函手の理論を構築し、多価函手による摂動技法を可能にする。
• 横断的解から生じる重み付き分岐部分多様体におけるsc微分形式の積分理論を明確に定義する。
• シンプレクティック場理論およびGromov-Witten理論における不変量の計算のための基礎的枠組みを提供する。

提案手法

• ポリフォールドの局所的モデルとして、M-多様体に基づくep-群倉（é taleかつ固有なリー群倉の一般化）を用いる。
• W_{n,k}という二重整数フィルトレーションを持つ強いポリフォールドバンドルを定義し、kはファイバーの正則性、nは基底の正則性を表す。
• モルフィズムと整合する一般化されたFredholmセクションとしてのFredholm函手を導入し、多価函手による函手的摂動を可能にする。
• ep-群倉上の連続的かつモルフィズム不変なpartition of unityを用いて、強いバンドル上の補助ノルムを構成する。
• 局所的ノルム\widehat{N}_xを連続的partition of unity \beta_xを用いて貼り合わせることで、バンドルE上にグローバルな補助ノルムNを構成する。
• sc微分形式を用いた分岐ep部分群倉上の積分を定義する理論を適用し、ストークスの定理を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な横断性が成立しない無限次元および特異的空間において、Fredholm理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 ep-群倉は、どのようにオービフォールド構造をポリフォールドへ一般化するか？
• RQ3 単価関数の摂動に失敗した場合でも、Fredholm函手を函手的に摂動して横断性を達成できるか？
• RQ4 多様体やオービフォールドではないが、重み付き分岐部分多様体である解集合に対して、どのように積分を定義できるか？
• RQ5 Fredholm函手の解集合の構造は何か？そして、それが一意な積分理論を支える仕組みは何か？

主な発見

• 横断的Fredholm函手の解集合は、多様体やオービフォールドではなく、重み付き分岐部分多様体または部分オービフォールドである。
• ep-群倉上には連続的かつモルフィズム不変なpartition of unityが存在し、グローバルに定義された補助ノルムの構成を可能にする。
• 強いバンドルE上の補助ノルムNは、連続的partition of unity \beta_xで重み付けられた局所的ノルム\widehat{N}_xの凸結合として構成される。
• 分岐ep部分群倉上のsc微分形式の積分理論はストークスの定理を満たし、不変量の定義を可能にする。
• 本理論は、分岐構造上の積分を用いたシンプレクティック場理論およびGromov-Witten理論における不変量の計算のための基盤を提供する。
• ep-群倉Xの軌道空間|X|には自然な\text{sc}^0-構造が誘導され、同値なポリフォールド構造は軌道空間上で\text{sc}^0-同相写像を誘導する。