[論文レビュー] A large time-step and well-balanced Lagrange-Projection type scheme for the shallow-water equations

Christophe Chalons, Pierre Kestener+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering参考文献 31被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、音波を陰的に、物質波を陽的に扱う、陰陽混合（IMEX）アプローチを用いた、大時間刻みの良好なバランスの取れたラグランジュ・プロジェクション法を、浅水域方程式に適用した。この手法は音速に起因するCFL制限を取り除き、安定した大時間刻みを可能にするとともに、静止した湖の状態を正確に再現し、エネルギー安定性と水深の正値性を維持する。

ABSTRACT

This work focuses on the numerical approximation of the Shallow Water Equations (SWE) using a Lagrange-Projection type approach. We propose to extend to this context recent implicit-explicit schemes developed in the framework of compressibleflows, with or without stiff source terms. These methods enable the use of time steps that are no longer constrained by the sound velocity thanks to an implicit treatment of the acoustic waves, and maintain accuracy in the subsonic regime thanks to an explicit treatment of the material waves. In the present setting, a particular attention will be also given to the discretization of the non-conservative terms in SWE and more specifically to the well-known well-balanced property. We prove that the proposed numerical strategy enjoys important non linear stability properties and we illustrate its behaviour past several relevant test cases.

研究の動機と目的

• 従来のゴドノフ型スキームに起因する音波に基づく制限的なCFL条件を克服する、浅水域方程式のための数値スキームの開発。
• 静止した湖の状態（静止水）に対する良好なバランス性を維持し、正確に静止水解を再現すること。
• 亜音速および低フロウ数の流れにおいて、水深の正値性を保ち、離散的エネルギー不等式を満たすことで、安定性を確保すること。
• 最近の圧縮流へのIMEXラグランジュ・プロジェクション戦略を、浅水域系に拡張し、精度や安定性を損なわずに大時間刻みを可能にすること。
• フラーヴィアル、トランスクリティカル、非一意なリーマン解を含むベンチマークテストケースでのスキームの検証。

提案手法

• システムを音波成分と物質波成分に分けるために、ラグランジュ・プロジェクション分解を用いる。
• 音波は半陰的時間離散化により陰的に取り扱い、音速に依存しない時間刻みを可能にする。
• 物質波は陽的に取り扱い、遅い速度の亜音速領域でも精度を保つ。
• 非一様メッシュ上でも静止した湖の状態を正確に再現できる、良好なバランスの取れた再構成を用いる。
• 離散スキームに保存的エネルギー法則を組み込み、エネルギー安定性を確保する。
• 有限体積法フレームワーク上でスキームを実装し、ラグランジュ・プロジェクション分解から導かれた数値フラックスを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IMEXラグランジュ・プロジェクションスキームは、安定性や精度を損なわずに、浅水域シミュレーションで大時間刻みを達成できるか？
• RQ2 地形や非一様メッシュが存在する状況でも、本スキームは静止した湖の状態（良好なバランス性）を維持できるか？
• RQ3 他の手法と比較して、非一意なエネルギー解を有するリーマン問題を正しく捉える性能はいかがなものか？
• RQ4 音波の陰的取り扱いがCFL条件および計算効率に与える影響は何か？
• RQ5 複雑な流れ領域でも、水深の正値性および離散的エネルギー不等式の満たし方は保たれるか？

主な発見

• フラーヴィアル領域のテストケースで、明示的CFL限界の10倍まで大きな時間刻みで安定なシミュレーションが達成された。
• ラグランジュ・プロジェクションスキームは、水圧均衡再構成（HRHLL）スキームと非常に近い解を得ており、ACUスキームよりも精度が優れている。
• ショックを伴うトランスクリティカル領域でも、正しいショック位置と波構造を捉えており、既存のスキームと一致する結果を得た。
• 非一意なリーマン問題において、本スキームは水圧均衡再構成法と同じ解に収束するが、HLLACUは異なる、より不正確な解を生成した。
• 音波の陰的取り扱いにより、音速に起因するCFL制限が解消され、大時間刻みが可能になった一方で、良好なバランス性と正値性が維持された。
• すべてのテストケースにおいて、エネルギー安定性および水深の正値性が維持された。強力な地形やほぼ静止状態の領域でも同様の結果を得た。